Теорема про інтегрування нерівностей
Нехай інтегровані на відрізку [a;b] функції f(x) і g(x) такі, що f(x)≤g(x) за всіх xє [a;b] . ТодіДоказ. Розглянемо будь-яке розмічене розбиття. Для будь-якої точки розмітки , що лежить на відрізку розбиття довжини hi , згідно з припущенням, виконано нерівність і, отже, нерівність , оскільки . Підсумовуючи за всіма відрізками розбиття, отримуємо тобто інтегральні суми і , побудовані, відповідно, для функцій f і g по будь-якому розміченому розбиття пов'язані тим самим знаком нерівності, що й дані функції. Оскільки перехід до межі по базі збереже знак нерівності, відповідно до однієї з властивостей меж, то отримуємо, що й потрібно було довести.
Оцінки інтегралів
1. Якщо то
2.
3. Якщо
Теорема про середнє
Перша теорема про середнє
( - середнє значення функції).
Якщо f безперервна, то
Друга теорема про середнє
Якщо f, g безперервні, а g не змінює знак, то
21.Теор. про інт. З перем. Верх. Пред. Произ-я опр. інт-ла від безперервного. ф-ії по верхній межі = знач. подинт. ф-ії.
Заміна перем в ОІ, заміна частинами
Нехай задані тоді має місце інтегрування частинами:
→
Заміна змінної у певному інтегралі.
Нехай безперервна на , а безперервна на . Разом зі своєю похідною; причому , і складна функція безперервна на , тоді справедливо формула заміни змінної для певного інтеграла:
24. Обчислення площ плоск фігур. Для обчисл.S криволін трап, обмеж зверху і знизу прямими y=f(x) y=g(x) cоотв ісп ф-ла .Об'єм. Нехай нек-е об'єм-е тіло обмеж площинними х = а і х = в, івідома ф-я y = S (x), опис-я S попереч січ в залежать від х. то ф-ла, якщо дугу повернути навколо осі Ох, то, якщо навколо Оy, то.Довжина дуги
22.
23.
Доказ: Оскільки функціяf(х) безперервна на відрізку [а, b], то вона інтегрована на цьому відрізку і має первісну на цьому відрізку. Перевіримо справедливість формули (*). Справді, підставляючи х=b отримаємо , а підставляючи х=а отримаємо
24.
Якщо F(х) – інша первісна для функціїf(х), виконується рівність F(х)= Ф(х)+С.
що завершує доказ формули (*).
Різниця F(b)-F(a) часто записують у вигляді
і формула Ньютона-Лейбніца в цьому випадку набуває такого вигляду:
Ми довели формулу випадку, колиf(х) безперервна на [а, b] функція. Насправді ця формула справедлива для будь-якої функціїf(х), що має первісну F(x)/
Формулу (**) зазвичай називають основною формулою інтегрального обчислення. вона дозволяє зводити знаходження певного інтеграла до знаходження первісної.
23. Заміна змін. у опр. інт-ле: нехай ф-ия x = визначена безперервно, диф-мо і монотон. на отр-ке , і ф-я f(x) непрер-на на отр. тоді. Якщо u(x), v(x) безперерв диф ф-ії, то ….
25. НИ1 -це опр інт-л від непереривн ф-ії на нескінченний отр-ці інтегрир-я. Бескон отр інт-я може бути 3-хвидів 1. 2. 3. . По опред-ю НИ1 це межа від опред інт-ла. На 1-му етапі обчисл опр інт від а до по ф-лі Н-Л, на 2-му межа получ-ой ф-ії залежить від b, т.к. це етап обчисл-я пред-ла, то від його реалізації залежить відповідь. Якщо отримано число, то НІ1 сходиться до цього; якщо то розх-ся.
26.НИ2 -це опр інт-л від ф-ії, що має розрив 2-го роду на кінцевий отр-ці інт-ия. Якщо т-ка розриву 2-го роду збіглася з лівим кінцем інт-ия, то . Якщо т-ка раз-ва 2-го роду збіглася з лівою межею инт-ия(т. b), то якщо т. розриву потрапила до будь-яку точку с, то
27. Поняття ДУ1. Загальний і част розв'язання. Загальн реш ДУ1 наз-ся ф-ія, к-я залежить від одного свавілля. постійного З і удовлетв умовам: а) вона удовл-т ДК за будь-якого конкр. знач. С. б) яке б не було нач ум-е y = Yo при x = Xo, можна знайти таке знач с = С, що ф-я y = удовл-ет цьому нач ум-ю. приватним реш наз-ся будь-яка ф-ия y=, к-я получ-ся із заг реш-я y=, якщо в останньому свавілля-му постій-му З надати опред. значок з=С.
28.ДУ з розділ-ся перемін. це Ур-е виду y`=. Метод їх вирішення полягає у знаходженні множника для перетворень-е в ур-і з розділеними змінними. 28. ДК з змінними, що розділяються. приклад.
Загальні рішення:
Приклад:
29. Геометрич. інтерпретація заг. виріш і розв'язання задачі Коші. Завдання Коші означає, що з мн-ва кривих ми повинні вибрати одну єдину, яка проходить через Мо(Xo, Yo). Насправді у прикладних завданнях треб-ся вирішити жодне ДУ, а т.зв. Завдання Коші - сов-ть ДУ і поч умов. ЗК = ДУ + НУ. Вирішити ЗК - означає знайти ф-ю удовлетворюючу одночасно і ДУ1 і НУ.