Теорема про властивості визначника » Лінійна Алгебра
Сайт про розділ вищої математики - лінійної алгебри
Теорема про властивості визначника
Визначення. Два стовпці визначника називаються пропорційними, якщо один з них можна отримати з іншого множенням на ненульовий скаляр:
,
де.
Аналогічно визначається поняття пропорційних рядків.
Визначення. Нехай стовпці визначника (матриці). Лінійною комбінацією стовпців називається стовпець рівний
,
де – довільні скаляри.
Аналогічно визначається поняття пропорційних рядків та поняття лінійної комбінації рядків.
Теорема. (Властивості визначника.)
1. Визначник, що має нульовий стовпець (нульовий рядок), дорівнює нулю.
2. Визначник змінює знак за будь-якої транспозиції його стовпців (рядків).
3. Визначник, що має два рівні стовпці (два рівні рядки), дорівнює нулю.
4. Визначник, що має два пропорційні стовпці (рядки), дорівнює нулю.
5. Визначник не змінює свого значення, якщо до якогось його стовпця (рядку) додати будь-яку лінійну комбінацію інших його стовпців (рядків).
Доведення. Через рівноправність рядків і стовпців будь-яку властивість достатньо довести або для рядків або для стовпців.
1) Нехай визначник має нульовий стовпець. Кожен член визначника має один множник з нульового стовпця і тому дорівнює нулю. Отже, і визначник дорівнює нулю.
2) Доведемо цю властивість для рядків.
Нехай у визначнику
переставили місцями i-й та k-й рядки:
.
Ми бачимо, що у початковій перестановці рядків
(1, …, i-1, i, i+1, …, k-1, k, k+1, …, n)
відбулася транспозиція (i k):
(1, …, i-1, k, i+1, …, k-1,i, k+1, …, n).
Початкова перестановка є парною, а після транспозиції (i k) перестановка виходить непарною.
.
Таким чином, при такій перестановці рядків кожен член визначника змінює свій знак на протилежний, звідки слідує перше затвердження теореми.
3) Нехай визначник має два рівні рядки.
Переставимо їх одне з одним. З одного боку, визначник змінив свій знак на протилежний, а з іншого боку матриця залишилася колишньою, в силу рівності рядків, що переставляються, звідки слідує, що
.
Якщо полі K правильне нерівність , тобто. характеристика поля не дорівнює 2, тоді отримуємо:
та затвердження доведено.
Нехай у визначнику рівні рядки з номерами i і k, , і характеристика поля дорівнює 2, тобто. тоді і всі члени визначника мають однаковий знак.
Кожен член визначника містить рівно один елемент з i-го рядка, наприклад, і рівно один елемент з k-го рядка, наприклад, , причому, . Переставимо у члені визначника
ці помножники один з одним:
Так як і , то останній член визначника дорівнює
Отже, отримуємо, що, з одного боку, член визначника не зміниться (від перестановки множників твір не змінюється), з другого боку це інший член визначника, т.к. елементи з i-го та k-го рядків взяті з інших стовпців.
Виходить, що кожен член визначника зустрічається в сумі алгебри двічі. Але в полі характеристики 2 сума двох однакових доданків дорівнює нулю:
.
Тим самим і визначник дорівнює нулю, т.д.
4) Нехай у визначнику пропорційні стовпці з номерами j та k. Це означає, що для деякого скаляра . Тоді за вже доведеними властивостями
, Ч.т.д.
5) Для простотизаписи, припустимо, що до першого стовпця визначника ми додали лінійну комбінацію інших стовпців цього ж визначника. Використовуючи доведені властивості, отримуємо:
.
Визначення. Нехай дана система стовпців (рядків). Лінійною комбінацією даної системи називається вираз
,
де скаляри із поля K, які називаються коефіцієнтами цієї лінійної комбінації.
Визначення. Система стовпців (рядків) називається лінійно залежною, якщо існує їхня лінійна комбінація дорівнює нульовому стовпцю (нульовому рядку), причому хоча б один з коефіцієнтів цієї лінійної комбінації не дорівнює 0:
.
В іншому випадку дана система стовпців (рядків) називається лінійно незалежною.
Теорема. Якщо система стовпців (рядків) визначника лінійно залежна, тоді визначник дорівнює нулю.
Доведення. Нехай система лінійно залежна та
,
де. Нехай, для певності, . Тоді
,
де , . Звідси отримуємо:
, Ч.т.д.
Слідство. Якщо визначник не дорівнює нулю, система його стовпців (рядків) є лінійно незалежною.