Теорема Вієта та трохи історії
Теорема Вієта – це поняття знайоме зі шкільних часів практично кожному. Але чи «знайоме» воно насправді? Мало хто стикається з ним у повсякденному житті. Але й не всі, хто має справу з математикою, часом повністю розуміють глибокий зміст і величезне значення цієї теореми.
Теорема Вієта багато в чому полегшує процес вирішення величезної кількості математичних завдань, які в результаті зводяться до розв'язання квадратного рівняння:
ax2+bx+c=0, де а≠0.
Це стандартний вид квадратного рівняння. У більшості випадків квадратне рівняння має такі коефіцієнтиa,b іс, які можна легко спростити, розділивши їх наа. У цьому випадку ми прийдемо до виду квадратного рівняння, що називається наведеним (коли перший коефіцієнт рівняння дорівнює 1):
x2+px+q=0
Саме для такого виду рівнянь зручна у використанні теорема Вієта. Основним змістом теореми є те, що значення коренів наведеного кв.рівняння можна легко визначити усно, знаючи основне співвідношення теореми:
- сума коренів дорівнює числу, протилежному другому коефіцієнту (тобто -p);
- твір дорівнює третьому коефіцієнту (тобто q).
Зокрема,x1+x2= -p іx1*x2= q.
Вирішення більшості завдань у шкільному курсі математики зводиться до простих пар чисел, які легко перебувають при володінні мінімальними навичками усних обчислень. І це не повинно викликати жодних проблем. Існуюча зворотна теорема Вієта дозволяє за наявною парою чисел, які є корінням деякого квадратного рівняння, легко відновити його коефіцієнти та запис у стандартному вигляді.
Вміння використовувати теорему Вієта як інструмент, багато в чому полегшує вирішення математичних та фізичних завдань у курсісередньої школи. Особливо ця навичка незамінна при підготовці учнів старших класів до ЄДІ.
Зрозумівши значущість такого простого і дієвого математичного інструменту, мимоволі замислюєшся про людину, яка вперше її відкрила.
Франсуа Вієт - знаменитий французький вчений, який розпочинав свою трудову діяльність як адвокат. Але, очевидно, математика була його покликанням. Перебуваючи на королівській службі радником, він прославився тим, що зумів прочитати перехоплене зашифроване послання короля Іспанії до Нідерландів. Це давало французькому королю Генріху III можливість знати всі наміри його противників.
Поступово долучаючись до математичних знань, Франсуа Вієт дійшов висновку, що має існувати тісний зв'язок між новітніми на той час дослідженнями «алгебраїстів» та глибокою геометричною спадщиною давніх. У ході наукових досліджень їм було розроблено і сформульовано практично всю елементарну алгебру. Він уперше ввів використання літерних величин у математичний апарат, чітко розмежувавши поняття: число, величина та його відносини. Вієт довів, що, виконуючи операції у символьному вигляді, можна вирішити завдання для загального випадку, практично для будь-яких значень заданих величин.
Його дослідження для вирішення рівнянь більших ступенів, ніж другий, вилилися в теорему, яка зараз відома як узагальнена теорема Вієта. Вона має велике прикладне значення, і її застосування дає можливість швидкого вирішення рівнянь вищого порядку.
Одна з властивостей цієї теореми полягає в наступному: добуток усіх коренів рівняння n-го ступеня дорівнює його вільному члену. Ця властивість часто використовується при вирішенні рівнянь третього або четвертого ступеня з метою зниження порядку багаточлену. Якщо у многочлена n-йступеня є цілі коріння, їх можна легко визначити методом простого підбору. І далі виконавши розподіл многочлена на вираз (х-х1), отримаємо многочлен (n-1)-го ступеня.
Насамкінець хочеться відзначити, що теорема Вієта є однією з найзнаменитіших теорем шкільного курсу алгебри. А його ім'я посідає гідне місце серед імен великих математиків.