Теорія множин та елементи математичної логіки
Тема 1.1. Уявлення про множини Інтуїтивні уявлення (Елемент, приналежність, рівність, інтуїтивний принцип об'ємності).
Поняття множини є базовим у математиці, на його основі формуються інші поняття. З огляду на свою спільності - це невизначене поняття.
Підмножиноюприйнято розуміти будь-яке зібрання (сукупність) певних і помітних між собою об'єктів, мислиме як єдине ціле. Ці об'єкти називаютьсяелементамиданої множини.
У наведеному вище описі поняття множини, яке належить засновнику теорії множин німецькому математику Г. Кантору, суттєвим є те, що збори об'єктів (безліч) саме розглядається як один предмет, як щось ціле. Щодо предметів, які можуть входити до множини, допускається значна свобода. Важливо, що наша інтуїція повинна, по-перше, відокремлювати їх один від одного навіть тоді, коли їх не можна точно вказати (наприклад, безліч простих чисел), по-друге, відповідати на питання про належність об'єкта даному безлічі. Останнє тісно пов'язане із способами завдання множин.
Той факт, що об'єкт а є елементом множини А, тобто а належить множині (міститься в множині) А, символічно позначається А. Інакше пишуть А.
Г. Кантор сформулював кілька інтуїтивних принципів, які природно вважати такими, що виконуються для довільних множин. Зокрема, інтуїтивний принцип об'ємності, який обумовлює умови рівності (тотожності) об'єктів нашої теорії, а отже, і їх відмінності.
Інтуїтивний принцип об'ємності.Безліч А і В вважаються рівними, якщо вони складаються з одних і тих же елементів.
Записують А = В , якщо А і В дорівнюють, і А В - вінакше.
Приклад.Нехай А - безліч дійсних коренів рівняння х 2 - 7х + 6 = 0, а безліч В складається з чисел 1 і 6. Числа 1, 6 і тільки вони є корінням рівняння, отже, в силу принципу об'ємності укладаємо, що А = В.
Безліч А, елементами якого є об'єкти а1, а2, . , аn і тільки вони позначають А = 1, а2, . , аn>.
Вправа.Наведіть два приклади рівних множин.
Підмножини (Включення, універсум, порожня множина, множина всіх підмножин р(а)).
Якщо кожен елемент множини А є одночасно і елементом множини, то А називають підмножиною множини В, і пишуть А В. У випадку, коли А В, але А В, кажуть , що А є власне підмножина В, і позначають А В.
Зрозуміло, що: 1) А А;
2) якщо А В, В С, то А С;
3) якщо А В, В А, то А = В.
Потрібно розрізняти відносини приналежності () та включення (). Якщо А = 1, а2, . , аn>, а1 А, але а1 А, т.к. а1 не є безліччю, а значить і підмножиною А. Однак, якщо ввести в розгляд безліч А1, що складається з одного елемента а1 , А1 = 1, то А1 А або 1 & gt; А.
Безліч, що не містить елементів, називаєтьсяпорожньою множиноюі позначається .
Наприклад, безліч дійсних коренів рівняння х 2 + 1 = 0 є пустою множиною. Цей простий приклад ілюструє доцільність запровадження поняття пустої множини.
Порожня множина є підмножина будь-якої множини. Якщо визначити безліч С = , воно містить елемент - порожня безліч.
Самі множини можуть ставати елементами інших множин. Якщо А = < а1, а2 >, В = < b1, b2 >, то D = < A, B >не містить якелементів а1 чи b1 , тобто. а1 D, але А D.
Безліч, елементами якого є всі можливі елементи всіх можливих множини, прийнято називатиуніверсальною множиною(універсумом)і позначати U. Таким чином, всяка множина є підмножиною універсальної множини U.
Вправи.1. Наведіть 2 – 3 приклади множин та їх деяких підмножин.
2. Визначте скільки елементів містить множину S(A), якщо множина містить 0, 1, 2, 3, … , n елементів.
Способи завдання множин (інтуїтивний принцип абстракції А = < x / P(x) >, приклади).
Багато можуть задаватися різними способами. Можна просто перерахувати всі елементи множини, можна задати процедуру, що породжує, тобто вказати правило, за яким з якихось об'єктів будуються елементи множини, можна вказати характеристичну властивість елементів даної множини, тобто властивість, яким володіють елементи множини і тільки вони тощо. буд. У зв'язку з цим виникає проблема ефективного опису способів завдання множин. Її рішення зазвичай ґрунтується на інтуїтивному понятті “форми від х”. Під "формою від х" прийнято розуміти кінцеву послідовність, що складається зі слів і символу х, таку, що якщо кожне входження символу х замінити одним і тим же ім'ям деякого предмета, то в результаті вийде справжнє або хибне речення. Наприклад, формами від х будуть пропозиції: "5 ділить х". "х - родич Іванова". Навпаки, речення “для всіх х х 2 - 4 = (х - 2)(х + +2)” або “є таке х, що х > 0” не є формами від x.
Позначимо форму від x через Р(х), тоді можна сформулюватиІнтуїтивний принцип абстракції.Будь-яка форма Р(х) визначає деяку множину А, а саме безліч тихі лише тих предметів а, котрим Р(а) - справжнє предложение.
Запис А = < x P(x) означає, що безліч А визначається формою Р(х).
3. - безліч парних натуральних чисел.
Вправа.Наведіть 2 – 3 власні приклади.