Теорія подоби
Сторінки роботи
зміст роботи
Лекційні матеріали (Теорія подоби).
1. Теореми подібності.
1.1. Перша теорема подібності.
1.2. Друга теорема подібності.
1.3. Третя теорема подібності.
2. Умови здійснення подоби
2.1. Ступінні комплекси.
2.2. Властивості статечних комплексів.
2.3. Умови здійснення подібності до простих рівнянь.
3. Подібність рівнянь загального виду.
3.1. Четверта умова подібності.
3.2. П'ята умова подібності.
4. Процес подібного моделювання.
4.1. Вихідні дані, необхідні для такого моделювання.
4.2. Етапи подібного моделювання.
5. Критерії подібності до гідромеханічних процесів
6. Критерії подібності для теплових процесів
6.1. Передача тепла конвекцією
6.2. Тепловіддача при вимушеній конвекції
6.2.1. Рух теплоносія трубами і каналами
6.2.2. Тепловіддача під час руху теплоносія поза трубами
6.2.3. Перемішування рідини мішалкою
6.2.4. Стікання рідини плівкою
Подібність у математичному моделюванні.
Поняття про подобу зародилося в давнину в геометрії. Геометрично подібними фігурами вважалися такі, які мали ту саму форму і мали властивість пропорційності подібних лінійних розмірів.
Пізніше, вже в середні віки, поняття про подобу було поширене на фізичні явища. Пізніше стали говорити про теплову подобу, кінематичну подобу, динамічну подобу і т.д.
Нагадаємо визначення подоби.
Подібність – це повна математичнааналогія за наявності пропорційності між подібними змінними, що незмінно зберігається при всіх можливих значеннях цих змінних, що задовольняють подібним рівнянням [1].
Подібні моделі,забезпечують перенесення даних, отриманих в результаті дослідження моделі на оригінал, на підставі подібності оригіналу та моделі.
1 . Теореми подібності.
Подібність у всіх його видах властиві деякі загальні закономірності, які прийнято називатипершоюдругоюітретьоютеоремами подібності. Дві перші теореми встановлюють співвідношення між параметрами подібних явищ, не вказуючи способи реалізації подібності при побудові моделей. Відповідь на останнє запитання даєтретяабо зворотнатеорема подоби.
Сформулюємо без доказу перелічені теореми подібності.
1.1. Перша теорема подібності.
Якщо явища подібні або фізично або математично або в іншому сенсі, то завжди з їх параметрів можна скласти такі поєднання, що вони будуть однакові для обох подібних явищ [2].
Безрозмірніпоєднання параметрів,чисельно однаковідля подібних явищ, звуться «Критерії подібності»або«числа подібності ».
З визначення випливає: з параметрів подібних явищ завжди можна скласти такі поєднання, що їх відносини для подібних явищ дорівнюватимуть одиниці.
Перша теорема може бути сформульована і так: «рівність однойменних чисел подібності є наслідком подібності фізичних явищ».
1.2. Друга теорема подібності (p-теорема).
Будь-яке повне рівняння фізичного процесу, записане у певній системі одиниць, може бути представлене залежністю міжкритеріями подоби, (тобто повне рівняння фізичного процесу то, можливо представлено рівнянням, що пов'язує безрозмірні величини, отримані з властивостей, що у процесі).[3]
Зазначимо, що ця теорема стосується лише процесів, що відображаються повними рівняннями та записаних у певній системі одиниць.
Значення цієї теореми полягає в тому, що вона вказує на можливість надати математичний опис фізичних явищ у вигляді функціональної залежності між числами подібності, що надає аналізу узагальненого характеру. Таким чином, ця теорема вказує, як повинні бути оброблені результати експериментів щодо явища, а саме, вони повинні бути представлені у вигляді залежності між безрозмірними числами подоби, а не між окремими розмірними величинами.
1.3. Третя теорема подібності.
Для подібності явищ - визначальні критерії подоби мають бути відповідно однаковими, а умови однозначності (крайові умови) подібні.
2 . Умови здійснення подоби
Визначимо умови здійснення подібності для простих рівнянь та рівнянь у загальному вигляді для випадків, коли останні мають єдине, не єдине та неоднозначне рішення.
Найбільш загальні умови подібності рівнянь можна сформулювати на базі поняття про статечні комплекси та їх подобу.
2.1. Ступінні комплекси.
Ступіньним комплексом називається функція виду
права частина якої є твір різних ступенів постійних або змінних величинxi, причомуai- будь-які числа.
Уявімо, що з N величин x1, x2, x3 …xN утворено n різних статечних комплексів
У загальному випадку всі статечні комплекси можна поділити напростітаскладові.
Простими статечнимикомплексами вважаються такі, що жоден з них не може бути представлений у вигляді статечного комплексу, утвореного зі статечних комплексів цієї групи.
З урахуванням даного визначення, представлена нами група статечних комплексів включає p – простих та (n – p) – складових комплексів.
Ступінні комплекси можуть мати фізичну розмірність (сила є маса, помножена на прискорення) і бути безрозмірними.
2.2. Властивості статечних комплексів.
Ступінні комплекси мають кілька властивостей, які потрібно враховувати при операціях з ними:
● Число простих статечних комплексів, утворених з кількох величин, не може перевершити числа цих величин.
● Будь-яку функцію деяких величин можна представити у вигляді функції статечних комплексів цих величин.
● Будь-яку безрозмірну функцію розмірних величин можна представити у вигляді функції безрозмірних статечних комплексів, утворених із цих величин.
● Будь-яку розмірну функцію розмірних величин можна представити у вигляді добутку розмірного статечного комплексу, складеного з цих величин, та безрозмірної функції цих же величин.
2.3. Умови здійснення подібності до простих рівнянь.
Як випливає з визначення подоби, вона може бути здійснена, з одного боку, за наявності повної математичної аналогії між оригіналом та моделлю, а з іншого – за наявності пропорційності між подібними змінними оригіналу та моделі.
Встановимо на прикладі умови, за яких оригінал та його модель будуть подібними.