Теорія та практика міжпланетних перельотів
1. Елементарна теорія. Плоське завдання досягнення планети
Отже, для простоти та розуміння принципів розрахунку траєкторій польоту до інших планет, розглянемо це завдання у наступних припущеннях:
1. Орбіти планет - кругові, з радіусом рівним великої півосі 2. Орбіти планет лежать у одній площині
Траєкторія перельоту від однієї планети до іншої – це орбіта навколо центрального тіла планетарної системи: Сонця у Сонячній, Кербола – у Кербальській. Найбільш вигідною з погляду витрат палива буде орбіта, зображена на малюнку
Такі траєкторії вперше були запропоновані Вальтером Гоманом у 1925 році, у його фундаментальній праці "Досяжність небесних тіл".
Ми хочемо долетіти до Дюни, яка, по відношенню до Кербіна, є зовнішньою планетою, тобто орбіта Кербіна пролягає цілком усередині орбіти Дюни. Для перельоту до неї, нам слід рухатися навколо Сонця-Кербола еліпсом, який у двох точках стосуватиметься орбіти Кербіна та орбіти Дюни. Зустріч із Дюною відбудеться у точці, суворо протилежній точці старту.
Щоб рухатися по такій орбіті навколо зірки доведеться розташовувати в точці старту K швидкість, достатньої для руху про зображену траєкторію. Розрахуємо цю швидкість. Нам на допомогу прийде закон збереження повної механічної енергії
Зліва - сума потенційної та кінетичної енергії апарату при відльоті від Кербіна, справа - та сама сума, але в момент прибуття в район Дюни. Маса m – маса космічного апарату, "мю" – гравітаційний параметр центрального тіла (зірки, Кербола!)
Ми не знаємо швидкість v, з якою прибудемо до Дюни, але можемо висловити її через початкову швидкість у Кербіна, користуючись другим законом Кеплера
ЗрештоюУ підсумку ми отримаємо формулу для швидкості відльоту до Дюни.
якраз швидкість руху Кербіна по орбіті навколо сонця (якщо вважати його круговою орбітою), тому формулу швидкості відльоту можна спростити
Провівши розрахунок отримаємо v0 = 9960,2 м/с. Замало, чи не так?
Правда ось тут ми не повинні забувати - стартуємо ми з Кербіна, а все, що знаходиться на Кербіні, вже мчить у просторі навколо сонця зі швидкістю руху Кербіна по орбіті, а це - не багато, не мало 9063,7 м/с, які у нас вже є. І нам не вистачає всього 896,5 м/с для повного щастя. Цю додаткову швидкість ми отримаємо правильно стартуючи з навколокербінської орбіти.
Як відомо, для того щоб "утекти" від якогось небесного тіла треба розвинути в його околиці параболічну швидкість. Якщо ми знаходимося прямо на поверхні цього тіла, таку швидкість називають другою космічною швидкістю для даного тіла. Якщо ми стартуємо з орбіти Кербіна маючи параболічну швидкість (а це - 3222,9 м/с на орбіті висотою 80 км), то відлітаючи від Кербіна по параболі, ми будемо повільно і вірно втрачати швидкість, і виявившись дуже далеко, за межами сфери гравітаційного дії Кербіна, матимемо, щодо нього нульову швидкість. Такий апарат рухатиметься тією ж орбітою, що рухається планета, яку він покинув.
А от якщо ми стартуємо зі швидкістю більш параболічною, то відлітати ми будемо по гіперболі, і в межі, виявившись дуже далеко від рідної планети, ми матимемо щодо неї деяку постійну швидкість, так звану швидкість "на нескінченності". Спробуймо визначити величину цієї швидкості, знову скориставшись законом збереження енергії. Врахуємо, що дуже далеко, за межами гравітаційної криниці планети, потенційна енергія тіла в їїгравітаційне поле дорівнює нулю. Тоді, енергобаланс такий
тут h – висота низької орбіти навколо Кербіна, з якої проводиться старт; R – радіус Кербіна; "мю" з індексом "К" – гравітаційний параметр Кербіна; v з індексом "нескінченність" - швидкість, яку ми матимемо дуже-дуже-дуже далеко від планети. З цієї формули отримуємо швидкість старту, необхідну для отримання заданої швидкості "на нескінченності"
що дає швидкість vM = 3345,3 м/с, яку ми повинні мати під час старту з орбіти Кербіна. Але не поспішаємо.
Механіка гри, на сьогоднішній день, така, що для моделювання польоту в ній використовується метод склеювання конічних перерізів. Весь простір у планетарній системі розбито на області - гравітаційні сфери дії тіл, всередині яких вважається, що на космічний корабель не впливає жодне інше тіло, крім того, всередині сфери дії якого воно знаходиться. При виході зі сфери дії (наприклад Кербіна) швидкість, з якою корабель вилітає складається векторно з орбітальною швидкістю тіла, що залишається, і за модулем і напрямом отриманої швидкості (при вильоті з Кербіна це буде швидкість щодо Сонця) будується нова орбіта, навколо того тіла, сферу впливу якого ми влітаємо. І навпаки - влітаючи у сферу дії, наприклад сферу дії Мун щодо Кербіна, зі швидкості входу віднімається швидкість орбітального руху Мун, отримана швидкість щодо Мун служить для побудови наступної траєкторії.
Таким чином, ми можемо вважати, що залишили гравітаційне поле Кербіна, якщо віддалилися від нього на відстань рівну 84159,3 кілометра – такий радіус сфери дії Кербіна щодо Кербола. Більш точно цей радіус визначається формулою
де mK – маса Кербіна; mS – маса Кербола; aK - великапіввісь орбіти Кербіна (середня відстань до Кербола). Відповідно, ми уточнюємо швидкість старту з орбіти Кербіна.
При розрахунку одержуємо швидкість vM = 3332,9 м/с. З урахуванням того, що на круговій орбіті заввишки 80 км ми матимемо орбітальну кругову швидкість vk = 2278,9 м/с, ми отримуємо приріст швидкості, який повинен повідомити нашому "пепелацу" розгінний блок
Це і є та "дельта", яку має забезпечити нам розгінний блок для старту до Дюни. І, треба сказати, це значення дуже близько до тих цифр, що ми маємо на практиці під час польоту до Дюни.
Крім того, розгін слід здійснювати у певній точці орбіти. Зрозуміти, який саме нам допоможе креслення
На малюнку видно, що старт слід проводити у бік орбітального руху Кербіна, так, щоб вектор швидкості апарату при виході зі сфери дії був паралельний вектору швидкості Кербіна. Положення точки старту M будемо задавати як кут "псі" між точкою старту та напрямком на Сонце. Попружавшись в геометрії і згадавши властивості конічних перерізів, отримуємо значення цього кута
де e - ексцентриситет гіперболи, який залежить від початкової швидкості в перицентрі та кругової швидкості на даній висоті над планетою
У нашому випадку ексцентриситет гіперболи e = 1,1389. Кут psi = 118,6 градусів.
Таким чином, запуск двигунів розгінного блоку для старту до Дюни завжди відбуватиметься над нічною стороною Кербіна. Але це ще не все.
Вихід зі сфери дії Кербіна має відбутися в такий момент часу, щоб при прибутті корабля в протилежну точку траєкторії перельоту там же виявилася Дюна. Час руху по траєкторії перельоту дорівнює половині періоду обігу корабля по орбіті навколо Сонця, на яку він виходить при перельоті, що є
де a – велика піввісь орбіти перельоту. Її легко порахувати
Звичайно, в метрах. Час перельоту, виражений у секундах, tau = 6682942 с. Якщо перевести це значення в Кербальський календар (6 годин на добу та 426 діб на рік), то виходить 309 днів 2 години 22 хвилини 22 секунди. Тепер визначимо взаємне розташування Кербіна і Дюни, щоб після виходу зі сфери дії Кербіна і перельоту ми потрапили в Дюну. Період звернення Дюни по орбіті, якщо вважати цю кругову орбіту, дорівнює Td = 17737240,6 секунд. Значить за одну секунду Дюна проходить дугу рівну
градусів. За час перельоту вона має пробігти орбітою дугу
градуси. Відповідно, Дюна має випереджати Кербін на кут.
Кут phi називають фазовим кутом.
2. Сувора реальність.
Проведений нами розрахунок дуже наближений. Орбіти - не кола, а еліпси. Площини орбіт не збігаються. Тому насправді розрахунок траєкторії перельоту до планети - складне завдання, пов'язане з вирішенням так званої задачі Ламберта. А ще ми не врахували час руху гіперболом після старту з Кербіна.
Однак цей розрахунок показує основні принципи планування польоту до зовнішньої планети. На його основі неважко зорієнтуватися під час планування польоту в грі.
На цьому першу частину циклу гайдів за міжпланетними польотами я закінчу. Надалі ми розглянемо, як перевести отримані нами знання на практичну площину і розглянемо:
1. Планування траєкторії KSP 2. Корекцію траєкторії 3. Вихід у заданий район посадки на планету 4. Посадка і зліт з планети. 5. Зворотний переліт 6. Підхід до Кербіну та гальмування в атмосфері з гіперболічною швидкістю