Tg (pi
Вітаю! Допоможіть розв'язати тригонометричне рівняння: tg (pi/4 – x/2) = –1. Потрібне рішення з докладним поясненням, щоб самій розібратися. Дякую!
Це рівняння є рівнянням виду tg x = a. Таке рівняння має такі рішення: x = arctg a + t, де t приймає значення цілих чисел. Функція arctga (арктангенс) з латинського перекладається як дуга і тангенс і є зворотною функцією до тангенсу. Арктангенс числа а є таким числом з інтервалу від до , тангенс від якого дорівнює числу а. Доволі часто при розв'язанні рівнянь використовується теорема, згідно з якою: arctg (–a) = – arctg a.
Вирішимо це рівняння.
Завдання. Знайти рішення рівняння .
Рішення. Спочатку знайдемо рішення рівняння за розглянутим вище прикладом рівняння, приймаючи вираз під знаком тангенсу за якесь невідоме (наприклад, х). Тоді запишемо:
де приймає значення будь-якого цілого числа. Значення функції арктангенс від мінус одиниці можна переглянути в таблиці тангенсів. Як вже згадувалося вище, функція арктангенс - це таке число, тангенс якого дорівнюватиме числу під знаком арктангенса. Тобто в таблиці тангенсів необхідно знайти тангенс такого числа, значення якого дорівнює — 1. Одним із таких чисел буде . Тоді запишемо: , де t набуває значення будь-якого цілого числа. Тепер вирішимо отримане рівняння. Для цього в лівій частині рівняння залишимо невідоме, а все інше перенесемо в праву його частину: де приймає значення будь-якого цілого числа; , де набуває значення будь-якого цілого числа. Щоб вирішити дане рівняння, необхідно, щоб у лівій його частині залишилося невідоме число х без будь-яких знаків ікоефіцієнтів. Для цього домножимо обидві частини рівняння на число -2: , де набуває значення будь-якого цілого числа; , де набуває значення будь-якого цілого числа. Оскільки число t набуває значення будь-якого цілого числа (як позитивне, і негативне), можна записати: , де приймає значення будь-якого цілого числа.