Тимчасові ряди
Аналіз взаємозв'язків економічних даних, представлених у вигляді тимчасових рядів, є необхідною складовою сучасних досліджень у галузі макроекономічної динаміки, перехідної економіки, економетрики фінансових ринків. Наприкінці 1980-х-початку 1990-х рр. було усвідомлено, що лише облік тимчасової структури даних про реальні економічні процеси дозволяє адекватно відобразити їх у математичних та економетричних моделях. Усвідомлення цього факту призвело як до ревізії багатьох макроекономічних теорій та побудов, так і до бурхливого розвитку специфічних методів аналізу таких даних.
Розроблені для цілей економічних досліджень методи аналізу нестаціонарних випадкових процесів істотно відрізняються від тих, що знайшли широке застосування в техніці та теорії управління прийомів роботи зі стаціонарними випадковими процесами. У силу складності досліджуваних явищ ці методи пред'являють підвищені вимоги до математичної, економетричної підготовки студентів та їх знань сучасних підходів економічної теорії.
Остання обставина є надзвичайно важливою. У технічних додатках аналіз часових рядів використовується переважно для прогнозування і супроводжується значною часткою так званого data mining*. У сучасній економіці значно більше місце займає оцінювання динамічних моделей, що відображають короткострокові та довгострокові зв'язки між економічними змінними.
Вже у початковому курсі економетрики щодо автокореляції розглядаються співвідношення виду х= рх( _1 + є(. Значення деякої економічної
змінної залежать від її значень в попередній момент часу, від її значень з лагом - зрушенням за часом на один крок назад.Включення змінних з лагом в економетричні співвідношення означає істотне зміна «філософії» моделювання. Якщо в звичайних економетричних моделях значення однієї змінної залежать від одночасних значень інших змінних, тобто від поточного стану економічної системи, наявність змінних з лагом означає, що поведінка системи визначається не тільки її поточним станом, але і траєкторією, по якій система прийшла у цей стан. З математичної точки зору економетрична модель такого типу є не функцією пояснюючих змінних, а функціонал від траєкторії (траекторій) економічних змінних. Тому елементами таких моделей є траєкторії: множини даних , де Т - деяка лічильна або континуальна множина. Моделювання залежностей виду у( = /(х(,є()), де х і у є
дані типи траєкторій призводить до ситуації, коли звичайні прийоми регресійного аналізу не дають прийнятних оцінок параметрів. Курс «Аналіз часових рядів» присвячено вивченню методів побудови та аналізу таких залежностей.
Ми називатимемо тимчасовим рядом (time series) сукупність спостережень економічної величини у різні моменти часу. При цьому спостереження може характеризувати економічну величину в даний момент часу, тобто типу запасу (наприклад ціна, ставка відсотка), або - характеризувати проміжок часу, тобто бути типу потоку (наприклад ВВП, продукція промисловості, надходження податків) . Як завжди в економетриці, ми розглядатимемо тимчасовий ряд як вибірку з послідовності випадкових величин Xt, де t набуває цілих значень від 1 до Т. Іноді ми будемо
розглядати проміжок часу від 0 до Т. Сукупність випадкових величин ми називатимемо дискретним випадковимабо стохастичним
процесом. Оскільки в нашому курсі всі випадкові процеси будуть дискретними, надалі це слово опускатимемо.
Іноді кажуть, що стохастичний процес для кожного випадку є деякою функцією часу, що дозволяє розглядати процес як випадкову функцію часу Х(/). При кожному фіксованому / значення стохастичного процесу розглядається просто як випадкова величина. Ці два еквівалентні підходи дозволяють розглядати стохастичний процес як функцію двох різнорідних величин, випадку та моменту часу: X(ю,/). При фіксованому випадку ми маємо деяку послідовність значень першої випадкової величини, другої, третьої тощо, яку ми називатимемо реалізацією випадкового процесу. Кажуть, що тимчасовий ряд, що спостерігається, є реалізацією стохастичного процесу, або тимчасовий ряд породжується стохастичним процесом. Часто має сенс трактувати послідовність як
підпослідовність нескінченної послідовності і саме цю послідовність назвати стохастичним процесом, що породжує спостережені дані. Як правило, надалі, якщо не обумовлено протилежне, у курсі під стохастичним процесом розуміється нескінченна послідовність. Якщо / пробігає безперервний відрізок часу, інколи ж аналітично зручніше працювати з безперервним часом, то X(а,/) називають випадковим процесом з безперервним часом. Прийнято позначати значення реалізації та стохастичний процес одними й тими літерами, наприклад Хг. Зазвичай це не
призводить до непорозумінь. В економіці ми найчастіше зустрічаємося, звісно, з дискретним часом. Приклади часових рядів: ВВП із 1921 по 1991 рр. у країні, помісячні значення інфляції, поквартальний обсяг виробництва,фондовий індекс чи курс деякої акції.
Оскільки випадковий дискретний процес X(а,/) є сукупність випадкових величин, його найбільш повної статистичної характеристикою є спільна функція розподілу чи функція щільності розподілу (якщо щільність існує). Коли в нас було 2 випадкові величини, ми говорили, що такою характеристикою є двовимірна функція розподілу (або щільності розподілу). При розгляді часового ряду число випадкових величин велике і може бути нескінченним. Тому, строго кажучи, щоб задати всі ймовірнісні властивості цієї конструкції, нам потрібна сукупність функцій розподілу, а саме одновимірна функція розподілу, двовимірна функція розподілу і так далі: / 1 (х (); / 2 (х (,, х ()) ;/3(х( ,х( ,х( );).
Індекси у величин х( і х( означають, що одна випадкова величина розглянь-
ється в момент /1, друга - в момент /2 і так далі, і у них є спільна функція розподілу. Якщо ми візьмемо інші моменти часу, то взагалі функція розподілу буде інша. Така сукупність функцій розподілу повністю характеризує випадковий процес. Ця сукупність функцій узгоджена між собою у такому сенсі. Кожну функцію розподілу розмірності п можна отримати із функції розподілу розмірності п+1. Для цього треба проінтегрувати функцію більшої розмірності за всіма значеннями однієї із змінних.
Чи варто задуматися, як ми далі використовуватимемо цю математичну конструкцію? З погляду побудови моделей наша економетрична ситуація залишилася незмінною. А саме, як правило, є одна єдина реалізація тимчасового ряду, і ясно, що говорити про оцінювання сукупності всіх функцій розподілу взагалі ніколи недоводиться. І, по-друге, поки що на інтуїтивному рівні, якщо процес поводиться так, що його основні статистичні характеристики згодом змінюються, то ми за коротким шматочком наших спостережень взагалі нічого не зможемо сказати про нього. Або нам ще треба знати додатково, понад спостережень. Тому, щоб дещо зняти гостроту цієї проблеми, ми говоритимемо про вужчий клас випадкових процесів, які ми назвемо стаціонарними випадковими процесами.