Тризначна логіка математичний формалізм та інженерна дисципліна
С. Кліні у книзі «Математична логіка» писав: «питання про те, чи не є n-значна логіка при n>2 лише інтелектуальною вправою, все ще залишається спірним». Відомий логік не знав, що тоді М. П. Брусенцов вже думав про інженерні аспекти цієї вправи. Після «Сетуні» минуло півстоліття, з'явилися персональні комп'ютери, але досі неясно, чи багатозначні логічні системи говорять щось про принципи нашого мислення.
Невизначені значення істинності, дилема Аристотеля та логіки Лукасевича
Чи завтра буде морська битва? Очевидно, що вона чи відбудеться, чи не відбудеться. На думку Аристотеля, жодне з цих двох передбачень сьогодні не є ні істинним, ні хибним. Я. Лукасевич запропонував тризначну логіку, виходячи з суті на пропозиції Аристотеля. Приписавши йому та його заперечення значення «½», Лукасевич у результаті прийшов до абсурду (нам зручно писати -1,0,1 замість 0, ½, 1). На наш погляд, Лукасевич помилково пов'язав приклад Аристотеля з 3-м значенням. Тут діє та ж 2-логіка та її закони, проте ситуація «сьогодні» не допускає інтерпретації (морфізму) у 2-елементну булеву алгебру (б.а.), а в її квадрат із 4 елементами; 2-значний морфізм ситуації неминуче відбувається «завтра» (один із двох можливих). Самою спірною проблемою багатозначної логіки вважається змістовна інтерпретація її констант. На наш погляд, принципово лише тлумачення нейтральної щодо заперечення (інверсії) константи. Її можна розуміти: - тактично - як нез'ясованість «дійсного» значення, яке може бути або істиною, або брехнею; у інженерній справі – несправний контакт. - стратегічно - як наслідок обмеженості абонеадекватності наших знань про дійсність, де існують об'єкти, яким придумана нами властивість не властива так само, як і його заперечення. Можливо і поєднання цих трактувань: «серед предків людини були марсіани». 0 у 3-значній логіці має самостійне значення, природу якого найкраще висловлюють слова Нільса Бора «Глибока істина – це така істина, що її заперечення також є глибокою істиною!». Можна сказати, що третє значення мають твердження, які в принципі не допускають перевірку на науковому «детекторі брехні» – вони лежать глибше і за істину, і за брехню, і в цьому сенсі справді суть «глибокі істини» (або «жахлива брехня»). Наприклад, ми вважаємо А = 0, якщо у звичайній логіці з А слідує не-А і навпаки, тобто. А й не-А сумісні. У прикладах Аристотеля та Лукасевича це не так. Зате це так у парадоксах типу Рассела та «діагональних» міркуваннях, узаконених у математиці.
Тернарні грати – основа алгебри тризначної логіки пропозицій
Коли інженер повинен працювати з 3-ма функціями, він змушений звертатися до глави «Алгебра багатозначної логіки» підручника «Дискретна математика». Там немає нічого специфічно 3-значного, а інтуїція не знаходить опори у таких поняттях – функції Россера-Тюркетта, циклічне заперечення тощо. Нам невідомі підручники та посібники з 3-логіки. Ми приймаємо, що в 3-логіці справедливі закони де Моргана, закон подвійного заперечення, але немає закону виключеного третього (тому немає закону протиріччя). Крім того, в ній є твердження, еквівалентне своєму заперечення («невизначене»; всі такі твердження виявляються еквівалентними). З точки зору теорії решіток, 3-логіка – дистрибутивна решітка з інверсією (інволютивним антиавтоморфізмом), щодо якої виділяються нерухомі табулеві елементи; ми вимагаємо, щоб був нерухомий елемент, що разом з булевими елементами породжує грати. Такі ґрати ми називаємо тернарною; будь-який її елемент виражається через нерухомий елемент і два булеві (необхідна і можлива частини), причому у певному сенсі він лежить точно посередині між цими гранями. Інтервал між ними назвемо модальним інтервалом.
Тернарні кільця – аналог булевих кілець у тризначній логіці
Тернарні кільця – алгебраїчні структури, що відносяться до тернарних ґрат так само, як бульові кільця – до булевих алгебр (тобто криптоізоморфні їм). Тернарне кільце ми визначаємо як комутативне кільце (асоціативність не потрібно) з тотожністю (хх)х = х(хх) = х, 3х = 0. Ми доводимо: - всяке 3-кільце асоціативно >- якщо в 3-кільці більше 3 елементів, то в ньому немає найменшого ненульового ідеалу - звідси випливає, що будь-яке 3-кільце є підпрямий ступінь кільця 3>- в будь-якому 3-кільці можна визначити структуру 3-решітки, причому -1 2), всі елементи якого суть ендоморфізм або антиендоморфізм решітки. При n=2 модальний моноід містить не 4, а 2 функції та є група.
Зведення багатозначних логік до тризначної
Єдина лінійно впорядкована б.о. (симетричний ланцюг) складається з 0 і 1, тому ніяка n-арна (n>2) решітка, що містить n-елементний симетричний ланцюг, не вкладається в б.а. Інакше кажучи, багатозначні логіки неможливо знайти представлені 2-логикой. Навпаки, будь-які грати непарного порядку, починаючи з n=3, містить грати будь-якого меншого порядку. Більш того, ця роль решіток непарного порядку повністю виконується гратами порядку 3: будь-яка n-арна решітка вкладається в тернарні грати відповідного розміру, прицьому модальні функції першої збігаються з композиціями проекцій тернарної решітки L3 і модальних функцій останньої. Крім того, вкладений образ адитивно породжує решітки, що представляє, як 3-кільце.
Тризначна логіка та ймовірність
Оскільки ймовірність – міра на б.а., а над кожною б.а. можна побудувати тернарну решітку, природно спробувати продовжити неї цю міру зі збереженням основних якостей. Виявляється, таке продовження завжди існує, причому тільки одне, і дорівнює напівсумі заходів необхідної та можливої частин. Зокрема, «тернарна ймовірність» нейтрального елемента 0 дорівнює 1/2 незалежно від вихідної функції ймовірності. Це дозволяє вважати 0 такою ж виділеною подією, як неможливе та достовірне. Крім того, ймовірність будь-якого позитивного елемента завжди більша за ½, негативного – менша. Специфічне для теорії ймовірностей поняття статистичної незалежності подій у разі продовження ймовірності призводить до такого результату: нейтральний елемент тернарної решітки завжди статистично незалежний від будь-якого її булева елемента (а якщо два 3-елементи незалежні, то один з них – бульов). Назад, якщо дійсна функція на тернарній решітці така, що виконуються ці умови для 0, вона є продовження свого обмеження на б.а. (Де вона - ймовірність). Далі, хоча «закон виключеного третього» в тернарних ґратах не дотримується, для продовжених на них ймовірностей залишається вірним рівність q(x) + q(x') = 1. заходи, які є продовженням будь-якої ймовірності з її булевої алгебрі; їхня інтерпретація поки що неясна («дикі ймовірності»).
Сполучений порядок у тризначній логіці
Елементи 3-решітки можна порівнювати також за включенням їхмодальних інтервалів: модальний інтервал булева елемента складається з нього одного, а інтервал невизначеного елемента дорівнює всій решітці. Ми говоримо, що один елемент точніший за інший, якщо модальний інтервал першого лежить у модальному інтервалі другого. Це відношення порядку визначає структуру верхньої напіврешітки, що складається з непустих інтервалів б. Найбільший її елемент – найменш точний; булеві елементи (максимально точні) – її атоми. Якщо до неї додати порожній інтервал, отримаємо грати, але працювати з напіврешіткою зручніше. Аналогічним чином ми можемо порівнювати елементи n-арних грат, розглядаючи їх як зростаючі послідовності вкладених інтервалів («гнізда»). Тут знову особливу роль грають тернарні грати, т.к. для решіток непарного порядку n = 2k+1 пов'язане «гніздове» впорядкування ізоморфно k-ого ординального ступеня найпростішої 3-елементної напіврешітки і тому теж є напіврешітка. Вважаючи властивості ординального ступеня відомими, досить детальніше вивчити напіврешітку інтервалів б.а.; у жартівливій формі це зроблено тут: http://www.pcmag.ru/columns/detail.php? >
Тризначна логіка та інші системи
Відомо, що стоунові грати являють собою посилені фрагменти інтуїціоністської логіки; з іншого боку, вони суть підпрямі твори 2- та 3-елементних ланцюгів. Звідси випливає, що ці грати є ґратами прямих творів булевих і тернарних грат, причому псевдодоповнення стоунових грат («інтуїціоністське» заперечення) збігається з модальною функцією «неможливо». Зазначені прямі твори утворюють різноманіття, криптоізоморфне різноманіттю узагальнених тернарних кілець (хx = х). У 1936 р. ф.Нейман, створюючи алгебру величин квантової механіки, визначив спектральну послідовність якзростаючу булеву функцію речового аргументу. Наша побудова елемента n-арних грат як зростаючого ланцюга елементів б.а. можна витлумачити як "квантову" величину зі значеннями 1, 2, ..., n-1. У 2008 р. група словацьких математиків, досліджуючи феномен квантового зачеплення, знайшла кінцеве кільце, близьке до тернарного.