У своїй книзі «Ключ арифметики», написаній у 1427 р, ал-Каші пише «Астрономи застосовують дроби
Виникнення числа
У своїй книзі «Ключ арифметики», написаній у 1427 р., ал-Каші пише: «Астрономи застосовують дроби, послідовними знаменниками яких є 60 та його послідовні ступені… За аналогією ми запровадили дроби, у яких послідовними знаменниками є 10 та його послідовні ступені …».
Ал-Каші називає соті частки "десятковими секундами", тисячні - "десятковими терціями" і т.д. Терміни ці запозичені із шістдесяткової нумерації. Вводячи десяткові дроби, ал-Каші поставив собі завдання створити просту і зручну систему дробів, що базується на десятковій нумерації і має ті ж переваги, що мали для вавилонян шістдесяткові дроби.
Ал-Каші викладає правила та наводить приклади дій із десятковими дробами. Воно вводить специфічний для десяткових дробів запис: ціла та дрібна частина пишуться в одному рядку. Для відокремлення першої частини від дробової він не застосовує кому [1], а пише цілу частину чорним чорнилом, дробову ж - червоним або відокремлює цілу частину від дробової вертикальної рисою.
Відкриття десяткових дробів ал-Каші стало відомо у Європі лише через 300 років після того, як ці дроби були наприкінці XVI ст. наново відкриті З. Стевиным[2].
Фламандський інженер та вчений Симон Стевін (1548-1620), близько 150 років після ал-Каші, виклав вчення про десяткові дроби в Європі. У 1585 році він написав невелику книгу під назвою «Десята».
Ця книга складалася лише з 7 сторінок, проте містила всю теорію десяткових дробів.
Запис десятинних дробів у Стевіна був відмінним від нашого. Ось, наприклад, як він записував число 35,912:
35 0 9 1 1 2 2 3 або
Отже, замість коми нуль у гуртку. В інших гуртках чи над цифрами вказується десятковий розряд: 1 – десяті, 2 –соті і т.д.
Стевик вказував на велике практичне значення десяткових дробів та наполегливо пропагував їх. Він був першим ученим, який зажадав запровадження десяткової системи заходів та ваг. Ця мрія вченого була здійснена лише понад 200 років, коли було створено метричну систему заходів.
Дроби загального виду. Дроби загального виду , у яких і m, і n може бути довільними цілими числами, з'являються вже у деяких творах Архімеда. Найпростіші з таких дробів (2/3, 3/4) поступово входять у вжиток у життєвій практиці. Індуси вже у перші століття нашого літочислення встановили сучасні правила процесів над звичайними дробами. Ці правила через керівництво середньоазіатських математиків – ал-Хорезмі та інших – увійшли до європейських підручників арифметики. Це сталося раніше поширення десяткових дробів.
В «Арифметиці» (1703) першого українського педагога-математика Леонтія Пилиповича Магницького (1669-1739) звичайні дроби викладаються докладно, десяткові ж дроби – у спеціальному розділі, як якийсь новий вид числення, що не мав за тодішньої системи заходів великого практичного. Тільки з введенням метричної (десяткової) системи заходів десятими дроби зайняли належне місце в нашому побуті.
2.3. Раціональні числа
Числа цілі, дробові (позитивні та негативні) і нуль отримали загальну назву раціональних чисел. Сукупність раціональних чисел має властивість замкнутості по відношенню до чотирьох арифметичних дій. Це означає, що сума, різницю, твір і приватне (крім частки при розподілі на нуль, яке не має сенсу) будь-яких двох раціональних чисел є знову раціональним числом. Сукупність раціональних чисел упорядкована щодо понять «більше» і «менше». Далі,сукупність раціональних чисел має властивість щільності: між будь-якими двома різними раціональними числами знаходиться нескінченно багато раціональних чисел. Це дає можливість за допомогою раціональних чисел здійснювати вимір (наприклад, довжини відрізка у вибраній одиниці масштабу) з будь-яким ступенем точності. Отже, сукупність раціональних чисел виявляється достатньої задоволення багатьох практичних потреб. Формальне обґрунтування понять дробового та негативного числа було здійснено у 19 ст. і представило, на відміну обгрунтування натурального числа, важливих труднощів.
Сукупність раціональних чисел виявилася недостатньою вивчення безперервно змінних величин, що змінюються. Тут виявилося необхідним нове розширення понять числа, що полягає у переході від безлічі раціональних чисел до множини дійсних (речових) чисел. Цей перехід полягає у приєднанні до раціональних чисел т.зв. ірраціональних чисел.
[1] Кома взагалі, як розділовий знак, була введена на рубежі XV і XVI ст. венеціанським типографом Альф Мануцці. Він же став додавати до книг зміст
[2] До Симона Стевіна десяткові дроби вживали Рудольфом, Різе та Вієт. Вієт явно рекомендував застосовувати десяткові дроби замість шістдесяткових. Число 314, 1592636, наприклад, Вієт записував так: 314, 159, 263,6.