Умови Коші - Рімана
Умови Коші - Рімана, звані такожумовами Даламбера - Ейлера- співвідношення, що зв'язують речовинну u=u(x,y) і уявну v=v(x,y) частини будь-якої функції, що диференціюється комплексного змінного w = f (z) = u + iv, z = x + iy .
Зміст
Формулювання
У декартових координатах
Для того щоб функція w=f(z) , визначена в деякій області D комплексної площини, була диференційована в точці z_0=x_0+iy_0 як функція комплексного змінного z необхідно і достатньо, щоб її речовинна і уявна частини u і v були диференційовані в точці (x_0,y_0) як функції речових змінних x і y і щоб, крім того, у цій точці виконувались умови Коші - Рімана:
Якщо умови Коші - Рімана виконані, то похідна f'(z) представима в будь-якій з наступних форм:
Доведення
1. Необхідність
За умовою теореми існує межа
не залежить від способу прагнення Delta z до нуля. Покладемо \Delta z = \Delta x і розглянемо вираз
Із існування межі комплексного виразу випливає існування дійсної та уявної його частин. До:Вікіпедія:Статті без джерел (тип: не вказано) [джерело не вказано 1860 днів] Тому в точці x_0, y_0 існують приватні похідні по x функцій u(x,y) і v(x,y ) і має місце формула
f'(z_0) = u_x(x_0, y_0)+iv_x(x_0, y_0)
Вважаючи \ Delta z = i \ Delta y , знаходимо
Порівнюючи дві останні формули, переконуємось у справедливості умов Коші-Рімана.
2. Достатність
За визначенням диференційності, збільшення функцій u(x,y) і v(x,y) в околиці точки (x_0, y_0) можуть бути записані у вигляді
u(x_0+\Delta x, y_0 + \Delta y)-u(x_0, y_0)= u_x(x_0,y_0)\Delta x + u_y(x_0,y_0)\Delta y +\xi(x,y) , v (x_0+\Delta x,y_0 + \Delta y)-v(x_0, y_0)= v_x(x_0,y_0)\Delta x + v_y(x_0,y_0)\Delta y +\eta(x,y) ,
де функції \xi(x,y) і \eta(x,y) прагнуть нуля при x \rightarrow x_0 , y \rightarrow y_0 швидше, ніж \Delta x і \Delta y\qquad \left(\lim\limits_ \) frac=0\right. , \lim\limits_ \frac=0 , \left.\Delta z=\sqrt\right) . Складемо тепер різницеве співвідношення \frac , де \Delta z = \Delta x + i \Delta y і перетворимо його на вигляд
Зауважимо, що з прагненні \Delta z до нуля останній доданок цієї формули прагне нулю, а перші залишаються незмінними. Тому є межа \lim\limits_ \frac = f'(z_0) , як і доводить диференційованість функції f(z) у точці z_0 .
У полярних координатах
У полярній системі координат (r, \varphi) умови Коші-Рімана виглядають так:
Представимо вихідну функцію у вигляді
f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y).
Вираз декартових координат через полярні
\left\ < \beginx = r\cos\alpha ;\\ y = r\sin\alpha . \end \right.
Розпишемо похідну функції u(x,y)
ідентично, похідну функції v(x,y)
Перегрупуємо і домножимо
Звертаємо увагу, що, використовуючи Умови Коші — Рімана в декартових координатах, отримуємо рівність відповідних виразів, що призводить до результату
Зв'язок модуля та аргументу комплексної функції, що диференціюється
Часто зручно записувати комплексну функцію у показовій формі:
Тоді умови Коші-Рімана пов'язують модуль R і аргумент функції \Phi наступним чином:
Геометричний зміст умов Коші-Рімана
Нехай функція w = f (z) = u (x, y) + iv (x, y), z = x + iy диференційована. Розглянемо у комплексній площині (x, y) два сімейства кривих (лінії рівня).
Перше сімейство: u(x, y) = const. Друга родина:v (x, y) = const.
Тоді умови Коші-Рімана означають, що криві першого сімейства ортогональні кривим другого сімейства.
Алгебраїчне значення умов Коші-Рімана
Якщо розглядати безліч комплексних чисел \mathbb як векторний простір над \mathbb , то значення похідної функції f\colon\mathbb\to\mathbb у точці є лінійним відображенням з 2-вимірного векторного простору \mathbb у собі (\mathbb -лінійність). Якщо ж розглядати \mathbb як одномірний векторний простір над \mathbb , то і похідна в точці буде лінійним відображенням одномірного векторного простору \mathbb в собі ( \mathbb -лінійність), яке в координатах є множенням на комплексне число f'(z) . Вочевидь, всяке \mathbb -лінійне відображення \mathbb -лінійно. Так як поле (одномірний векторний простір) \mathbb ізоморфне полю речових матриць виду \begin a & b\-b & a \end із звичайними матричними операціями, умови Коші-Рімана, що накладаються на елементи матриці Якобі відображення f у точці z (точніше, відображення \tilde: (x, y)\mapsto (u(x, y), v(x, y) )) у точці (x, y) ) є умовами \mathbb -лінійності f'(z) , тобто. \tilde'(x, y).
Ці умови вперше з'явилися у роботі д'Аламбера (1752). Діяльність Ейлера, доповіданої Петербурзької академії наук 1777 року, умови отримали вперше характер загальної ознаки аналітичності функций.
Коші користувався цими співвідношеннями для побудови теорії функцій, починаючи з мемуару, представленого Паризької академії наук у 1814 році. Знаменита дисертація Рімана про основи теорії функцій належить до 1851 року.
Напишіть відгук про статтю "Умови Коші — Рімана"
Література
- Євграф М. А.Аналітичні функції. - 2-ге вид., перероб. ідоповн. - М.: Наука, 1968. - 472 с.
- Привалов І. І.Введення в теорію функцій комплексного змінного: Посібник для вищої школи. - М.-Л.: Державне видавництво, 1927. - 316 с.
- Теорія функцій комплексної змінної. - М.: Наука, 1974. - 320 с.
- Тітчмарш Е.Теорія функцій: Пер. з англ. - 2-ге вид., перероб. - М.: Наука, 1980. - 464 с.
- Шабат Б. В.Введення в комплексний аналіз. - М.: Наука, 1969. - 577 с.
- Картан А.Диференційне числення. Диференційні форми. - М.: Світ, 1971. - 392 с.
: неправильне або відсутнє зображення
- Проставивши виноски, внести точніші вказівки на джерела.
Уривок, що характеризує Умови Коші - Рімана
«Прийду до одного місця, помолюся; не встигну звикнути, полюбити – піду далі. І буду йти доти, доки ноги підкосяться, і ляжу і помру десь, і прийду нарешті в ту вічну, тиху пристань, де немає ні печалі, ні зітхання!…» думала княжна Мар'я. Але потім, побачивши батька і особливо маленького Коко, вона слабшала у своєму намірі, потихеньку плакала і відчувала, що вона грішниця: любила батька і племінника більше, ніж Бога.