Умовні ймовірності
Математика, Теорія ймовірності. Виникнення математики випадкового Нехай А І В - Дві Події, що розглядаються в цьому Досвіді. Наступання Одног.
Нехай А і В - дві події, що розглядаються в даному досвіді. Наступ однієї події (скажімо, А) може впливати на можливість наступу іншої (В).Для характеристики залежності одних подій від інших вводиться поняття умовної ймовірності.
Умовною ймовірністюподії У за умови, що сталася подія А, називається відношення ймовірності добутку цих подій до ймовірності події А, причому Р(А)≠0, позначається символом Р(ВА).
Таким чином, за визначенням
Р(ВА)= P(A)≠0 (1.20)
Імовірність Р(В),на відміну від умовної, називаєтьсябезумовною ймовірністю.
Аналогічно визначається умовна ймовірність подіїАза умови, тобто. Р(АВ):
Р(АВ) = P(B)≠0 (1.21)
Зазначимо, що умовна ймовірність, скажімо Р(В?А),задовольняє аксіомам Колмогорова (п. 1.11): Р(В?А) ≥ 0, очевидно; Р(ΏçА)=; P((B+C)A)=P(BA)+P(CA), якщо B×C=Æ. Тому для умовної ймовірності справедливі всі наслідки (властивості) з аксіом, отримані у п. 1.12. Формула (1.20) приймається за визначенням при аксіоматичному визначенні ймовірності: у разі класичного (геометричного, статистичного) визначення може бути доведена.
приклад 1.25. В урні 2 білих та 7 чорних куль. З неї послідовно виймають дві кулі. Яка ймовірність того, що 2-а куля виявиться
білим за умови, що перша куля була чорною?
Розв'яжемо задачу двома способами.
1. НехайА- 1-а куля чорна,В- 2-а куля біла. Так як подіяАвідбулася, то в урні залишилося 8 куль,з яких 2 білих. Тому P(ВА) =
2. Знайдемо Р(ВçА) за формулою (1.20). Вочевидь, що Р(А)=. Знаходимо Р(АВ): n= 9×8 = 72 — загальна кількість наслідків (поява двох куль). ПодіїАВсприяютьт = =14 результатів. Тому Р(АВ) = . Отже, Р
Ця тема належить розділу:
Теорія ймовірності. Виникнення математики випадкового
Теорія ймовірності як і інші науки виникла з потреб практики. Її елементи були знайомі ще первісним людям шанси вбити звіра у двох. одному не вдасться виграти три.
Що робитимемо з отриманим матеріалом:
Всі теми цього розділу:
Предмет теорії ймовірності Будь-яка наука вивчає самі явища, які у природі, у суспільстві, які математичні моделі, тобто. опис явищ за допомогою набору строго певних символів та операцій з них.
Дії над подіями Введемо основні операції над подіями; вони повністю відповідають основним операціям над множинами. Сумою подій А та В називається подія С = А +
Статистичне визначення ймовірності Для математичного вивчення випадкової події необхідно запровадити якусь кількісну оцінку події. Зрозуміло, що одні події мають більше шансів (більш вірогідні) наступити, ніж інші.
Елементи комбінаторики Відповідно до класичного визначення підрахунок ймовірності події А зводиться до підрахунку числа сприятливих йому результатів. Роблять це, зазвичай, комбінаторними методами. Комбін
Аксіоматичне визначення ймовірності Аксіоматична побудова теорії ймовірностей створена на початку 30-хроків академіком А. Н. Колмогоровим. Аксіоми теорії ймовірностей вводяться таким чином, щоб ймовірність події мала осн.
Властивості ймовірностей Наведемо ряд властивостей ймовірності, які є наслідком аксіом Колмогорова. З 1. Імовірність неможливої події дорівнює нулю, тобто. Р(Æ) = 0.
Нехай проводиться деякий досвід (експеримент), який має кінцеву кількість можливих результатів w1, w2, w3. wn. У цьому випадку Ώ =
Незалежність подій З визначення умовної ймовірності (п. 1.14) слід, що Р(А×В) = Р(А)×Р(ВçА)=Р(В)-Р(АçВ), (1.22) тобто ймовірність твору
Формула повної ймовірності Одним із наслідків спільного застосування теорем складання множення ймовірностей є формули повної ймовірності та Байєса. Нагадаємо, що події А1, А2, …
Формула Байєса (теорема гіпотез) Наслідком формули (1.30) є формула Байєса або теорема гіпотез. Вона дозволяє переоцінити ймовірності гіпотез Hi, прийнятих до досвіду
Формула Бернуллі Найпростіше завдання, що стосується схеми Бернуллі, полягає у визначенні ймовірності того, що в п незалежних випробуваннях подія А настане т разів (0 £т £ n
Концепція випадкової величини. Закон розподілу випадкової величини Одним з найважливіших понять теорії ймовірностей (поряд з випадковою подією та ймовірністю) є поняття випадкової величини. Під випадковою величиною розуміють величину, яка в результаті
Закон розподілу дискретної випадкової величини. Багатокутник розподілу Нехай X - д. с. в., яка приймає значення x1, x2, x3,…,xn,… (безліч цих значень звичайно або рахунково) з деякою ймовірністю pi
Функція розподілу та її властивості. Функція розподілу дискретноївипадкової величини Очевидно, ряд розподілу с.в. може бути побудований лише для д.с. ст: для н. с. в. не можна навіть перерахувати всі її можливі значення. Крім того, як побачимо пізніше (п. 2.3, 2.4), ймовірність кожного
Математичне очікування випадкової величини Математичним очікуванням (або середнім значенням) д. с. в. X, - має закон розподілу рi = Р, i = 1,2, 3. , n, називається число, рівне сумі виробл
Дисперсія Дисперсією (розсіянням) с. в. X називається математичне очікування квадрата її відхилення від свого математичного очікування. Позначається дисперсія через DX (або
Середнє квадратичне відхилення Дисперсія DX має розмірність квадрата св. X, що у порівняльних цілях незручно. Коли бажано, щоб оцінка розкиду (розсіювання) мала розмірність с.в., використовують ще один числовий характер
Мода та медіана. Моменти випадкових величин. Асиметрія та ексцес. Квантілі Модою д. с. в. X називається її значення, яке приймається з найбільшою ймовірністю в порівнянні з двома сусідніми значеннями, позначається через M0X. Для н. M0X - точ
Предмет математичної статистики Математична статистика — розділ математики, у якому вивчаються методи збирання, систематизації та опрацювання результатів спостережень масових випадкових явищ виявлення
Генеральна та вибіркова сукупності Нехай потрібно вивчити цю сукупність об'єктів щодо певної ознаки. Наприклад, розглядаючи роботу диспетчера (продавця, перукаря.), можна дослідити: його завантажено
Статистичне розподіл вибірки Емпірична функція розподілу/ Нехай вивчається деяка св. X. З цією метою над с. в. X проводиться низка незалежних дослідів (спостережень). У кожному з цих дослідів ве
Графічне зображення статистичного розподілу Статистичне розподіл зображується графічно (для наочності) у вигляді так званих полігону та гістограми. Полігон, як правило, служить для зображення дискретного (тобто варіанти відмінності
Числові характеристики статистичного розподілу Для вибірки можна визначити ряд числових характеристик, аналогічним тим, що в теорії ймовірностей визначалися для випадкових величин (див. п. 2.5). Нехай статистичний розподіл виб