«Управління та Оптимізація Виробничого Підприємства»
Глава 4. Статистичний аналіз числових величин (непараметрична статистика)
4.7. Методи перевірки однорідності для пов'язаних вибірок
Почнемо із практичного прикладу. Наведемо листа головного інженера підмосковного хімічного комбінату (деякі назви змінено).
"Директору Інституту високих статистичних технологій та економетрики (Прізвище, ім'я, по батькові)
Наш комбінат випускає мастику за ГОСТом (слідує номер) і є розробником зазначеного стандарту.
У результаті досліджень з підбору стандартного методу визначення в'язкості мастики на комбінаті накопичено великий досвід порівняльних даних визначення в'язкості за двома методами: - нерозбавленої мастики - на нестандартному приладі фабрики ім. Петрова; - розчину мастики - на стандартному віскозиметрі ВЗ-4.
Враховуючи високу компетентність співробітників Вашого інституту, прошу Вас, у порядку надання технічної допомоги нашому підприємству, доручити відповідній лабораторії провести опрацювання представленої статистики сучасними економетричними методами та видати висновок про наявність (або відсутність) залежності між зазначеними вище методами визначення в'язкості мастики. Ваш5е висновок необхідно для вирішення спірного питання про доцільність знову ввести в ГОСТ (слід номер) методу визначення в'язкості мастики по віскозиметру ВЗ-4, який, на думку деяких споживачів, був необґрунтовано виключений з цього ГОСТ зміни № 1.
Заздалегідь дякую Вам за надану допомогу.
Додаток: статистика на 3 аркушах.
Головний інженер (Підпис) (Прізвище, ім'я, по батькові)
Коментар.В'язкість мастики - один із показників якості мастики. Вимірювати цей показник можна по-різному. І яквиявилося, різні способи виміру дають різні результати. Нічого незвичайного у цьому немає. Однак постачальнику та споживачеві слід узгодити способи вимірювання показників якості. Інакше досить часто постачальник (виробник) стверджуватиме, що він виконав умови контракту, а споживач заявлятиме, що ні. Така конфліктна ситуація іноді називається арбітражною, оскільки її вирішення боку можуть звертатися до арбітражного суду. Найпростіший метод узгодження способів вимірювання показників полягає в тому, щоб вибрати один із них і внести до державного стандарту, який тим самим міститиме не лише опис продукції, перелік її показників якості та вимог до них, а й способи вимірювання цих показників.
Висновок за статистичними даними, представленими хімічним комбінатом.Для кожної з 213 партій мастики представлені два числа - результат вимірювання в'язкості на нестандартному приладі фабрики ім. Петрова та результат вимірювання в'язкості на стандартному віскозиметрі ВЗ-4. Потрібно встановити, чи дають два зазначені методи подібні результати. Якщо вони дають подібні результати, то немає потреби вводити у відповідний ГОСТ вказівку про метод визначення в'язкості. Якщо ж методи дають суттєво різні результати, то така вказівка запровадити необхідна.
Для застосування економетричних методів у розглянутій задачі необхідно описати імовірнісну модель. Вважаємо, що статистичні дані мають вигляд деxi-результат вимірювання на нестандартному приладі фабрики ім. Петрова вi-ої партії, аyi- результат вимірювання в'язкості на стандартному віскозиметрі ВЗ-4 у тій жеi-ої партії. Нехайai- справжнє значення показника якості вi-ої партії. Природно вважати, що зазначені вищевипадкові вектори незалежні у сукупності. При цьому вони не є однаково розподіленими, оскільки відрізняються істинними значеннями показників якостіai.Приймаємо, що при кожному i випадкові величини xi - ai і yi - ai незалежні і однаково розподілені . Це умова і означаєоднорідність у пов'язаних выборках.Параметри зв'язку - величиниai. Їхня наявність не дозволяє об'єднати перші координати в одну вибірку, другу - в другу, як робилося у разі перевірки однорідності двох незалежних вибірок.
У припущенні безперервності функцій розподілу з умови однорідності у пов'язаних вибірках випливає, що
Розглянемо випадкові величини З останнього співвідношення випливає, що з справедливості гіпотези однорідності для пов'язаних вибірок ці випадкові величини мають нульові медіани. Іншими словами, перевірка того, що методу вимірювання в'язкості дають схожі результати, еквівалентна перевірці рівності 0 медіан величинZi.
Для перевірки гіпотези у тому, що медіани величинZiнульові, застосуємо широко відомий критерій знаків (див., наприклад, довідник [8, с.89-91]). Відповідно до цього критерію необхідно підрахувати, у скільки партіях і в скільки. Для представлених хімічним комбінатом даних у 187 випадках з 213 та у 26 випадках з 213.
Якщо аналізована гіпотеза вірна, то числоWздійснення події має біномний розподіл з параметрамиp= 1/2 і n = 213. Математичне очікуванняМ(W)= 106,5 а середнє квадратичне відхилення Отже, інтервал - це інтервал 842