Урок - приклади завдань на побудову

Короткий опис документа:

Продовжуючи освоювати рішення на побудову, необхідно детально вивчити основні способи розв'язання різних завдань. Відеоурок «Приклади завдань на побудову» спрямований на формування одних із найважливіших у геометрії навичок – проведення коректних побудов та пошук розв'язання геометричних задач за допомогою побудови.

Перший приклад задачі, що вирішується за допомогою звичайної лінійки та циркуля – побудова кута, який дорівнює цьому. На екрані відображається умова завдання. Рішення починається із зображення променя ОМ та кута ∠А. Пояснюється, що умова завдання означає, що необхідно побудувати кут, що дорівнює побудованому куту ∠А так, щоб однією зі сторін отриманого кута став промінь ОМ. Для вирішення даної задачі пропонується спочатку провести коло деякого радіусу з центром у точці А. Зазначаються точки перетину В і С даного кола з променями кута ∠А. Потім таке ж коло проводиться з центром на початку променя ОМ. Відзначається перетин кола з променем у точці D. Далі необхідно циркулем відміряти відстань між точками В і С, що належать куту ∠А, і побудувати коло виміряного радіусу, де центр у точці D. Для подальшої побудови звертається увага учня на точки перетину даного побудованого кола з першим колом. Одну з точок перетину відзначаємо як точку Е. За побудовою кут ∠МОЄ є кутом, рівним куту ∠А. Наводиться доказ цього факту на основі наявних знань за ознаками рівності трикутників. Для доказу рівності кутів необхідно розглянути трикутники ΔАВС та ΔОDE. Рівність сторін АВ=ОD і АС=ОЕ випливає з побудови, оскільки є радіусами однаковихкіл. При цьому СВ=ED по побудові малого кола, оскільки її радіус узяли рівним СВ. Використовуючи третю ознаку рівності трикутників, стверджуємо, що ці трикутники рівні. А відповідні кути рівних трикутників попарно рівні, тому рівність ∠А=∠МОЯ вірна. За допомогою лінійки та циркуля побудований кут, що дорівнює цьому. Також наголошується, що при вирішенні практичних завдань на місцевості в такий спосіб можна було б побудувати кут, що дорівнює цьому за допомогою мотузки.
Другий приклад завдання - побудова бісектриси кута. Умова завдання відображається на екрані. При вирішенні для початку зображується кут ∠ВАС. Від центру даного кута відкладається коло довільного радіусу. Відзначаються точки перетину даного кола з точками, що належать сторонам кута ∠ВАС. Далі необхідно провести два кола, центрами яких є дані точки перетину. Утворюються дві точки при перетині побудованих кіл. Серед цих точок одна лежить усередині кута. Її позначаємо, як точку Е. Щоб знайти цю точку, не обов'язково зображувати повністю ці кола - достатньо прокреслити частини, в яких знаходиться точка їхнього перетину, розташована всередині кута. Це і зроблено на малюнку, що демонструється. Завдання вирішено. Тепер доведемо, що результат побудови – відрізок ОЕ – є бісектрисою кута. Щоб довести справедливість судження, необхідно розглянути трикутники AVE та ASE. Дані трикутники дорівнюють за трьома сторонами (за третьою ознакою рівності трикутників). АВ = АС як радіуси побудованого кола, сторона АЕ є спільною для двох трикутників, а ВЕСІ по будові як радіуси однакових проведених кіл. У рівних трикутників відповідні сторони попарно рівні. Це означає, що дорівнюватимуть і кути ∠ВАЕ=∠САЕ.Отже, промінь АЕ ділить даний кут на дві рівні частини і є його бісектрисою. Приклад демонструє, що кут може бути розділений за допомогою циркуля та лінійки на дві рівні частини. Так само можна розділити кут і чотири рівні частини, розділивши його спочатку навпіл, та був кожен із кутів також розділити навпіл. Матеріал доповнюється цікавими фактами, пов'язаними із завданням трисекції кута. Учні інформуються про те, що за допомогою лінійки та циркуля поділити кут на три частини неможливо. Доказ цього твердження було зроблено в XIX столітті.
Третій приклад – побудова перпендикулярних до прямих. Умову завдання відображається на екрані. Для початку проводиться пряма із зазначеною на ній точкою. Через дану точку необхідно провести пряму, перпендикулярну до цієї. Нижче умови зображується пряма a із зазначеною точкою М. За допомогою циркуля відзначимо рівні відрізки на променях МА та МВ. Далі необхідно провести два кола з центрами в точках А і В. Відзначаються точки перетину цих кіл P і Q. Через дані точки проводиться пряма. Ця пряма і буде шуканою прямою, перпендикулярною до а. Доведемо, що це твердження вірне. Для цього розглянемо трикутник РАВ. Цей трикутник є рівнобедреним, оскільки його сторони РА і РВ рівні по побудові – вони є радіусами однакових кіл. РМ – медіана вказаного трикутника. А в рівнобедрених трикутниках медіана також є і висотою – відповідно вона перпендикулярна АВ, а значить, і прямий а.
Четверте завдання – побудова середини відрізка. На екрані відображається умова завдання, після чого наводиться потрібна побудова. На прямій відмічено відрізок АВ, середину якого необхідно знайти. Циркулем відзначаємо радіус розміром довжини відрізка АВ табудуємо кола з цим радіусом. Відзначаються точки перетину кіл - P і Q. Після проведення прямої, що з'єднує точки P і Q утворюється точка Про перетину відрізка PQ і прямий. Ця точка і є серединою відрізка АВ.

Доказ того, що є серединою АВ, будується на рівності трикутників ΔАРQ і ΔBPQ. Справді, АР=РВ та АQ=QB як рівні радіуси кіл по побудові. PQ – загальна сторона трикутників. З рівності трикутників випливає рівність кутів ∠ОРА=∠ОРВ. У рівнобедреному трикутнику ΔАРВ бісектриса РВ є також і медіаною. Це означає, що відрізок АВ ділиться точкою на дві рівні частини, тобто про – середина відрізка.

Відеоурок «Приклади завдань на побудову» може бути використаний вчителем на уроці як наочність при розгляді вирішення завдань на побудови. Також даний матеріал може бути використаний у самостійному вивченні матеріалу та при дистанційному вивченні.