Усічений конус - презентація з Геометрії
Усічений конус.МОУ ЗОШ №256 м.Фокіно
Усіченим конусом називається частина повного конуса, укладена між основою та січною площиною, паралельною основі. Кола, що лежать у паралельних площинах, називаються основами зрізаного конуса.
Утворюючої усіченого конуса називається частина утворює повного конуса, укладена між основами. Висотою усіченого конуса називається відстань між основами.
Нехай у конусі, висота якого відома, проведено переріз, що знаходиться на відстані три від вершини. Чому дорівнює твірна усіченого конуса, що вийшов, якщо відома твірна повного конуса?
Усічений конус можна розглядати як тіло, отримане при обертанні прямокутної трапеції навколо бічної сторони, перпендикулярної до основи.
Нехай дано усічений конус, радіуси підстав та висота якого відомі. Знайдіть утворюючу усіченого конуса.
Пряма, що з'єднує центри основ, називається віссю конуса. Перетин, що проходить через вісь, називається осьовим. Осьовий переріз є рівнобедреною трапецією.
Знайдіть площу осьового перерізу, якщо відомі радіус нижньої основи, висота і твірна.
Бічна поверхня зрізаного конуса. Площа бічної поверхні усіченого конуса. Площа бічної поверхні усіченого конуса дорівнює добутку напівсуми довжин кіл підстав на утворюючу.
Доказ: Бокову поверхню зрізаного конуса будемо розуміти як межу, до якої прагне бічна поверхня вписаної в цей конус правильної зрізаної піраміди, коли число бічних граней необмежено збільшується.
Доказ: Впишемо в конус правильну піраміду. Її бічна поверхня складається із трапецій.
Примітка: Площа бічної поверхні усіченого конуса можна розглядати як різницю між площами бічних поверхонь двох конусів. Тому розгортка усіченого конуса – це частина круглого кільця.
Усічений конус отриманий від обертання прямокутної трапеції навколо бічної сторони, перпендикулярної до основ, Знайдіть площу бічної поверхні усіченого конуса, якщо відомі основи і бічна сторона трапеції.
Задача.Радіус меншої основи усіченого конуса дорівнює 5, висота дорівнює 6, а відстань від центру меншої основи до кола більшої основи дорівнює 10. Знайдіть площу бічних поверхонь усіченого та повного конусів.
Добудуємо зрізаний конус до повного і проведемо осьовий перетин.
Рішення1) Обчислимо радіус більшої основи.
Рішення: 2) Знайдемо бічну сторону трапеції - утворює усіченого конуса.
Рішення:3) Використовуючи подібність трикутників, знайдемо повну конуса, що утворює.
Рішення: 4) Підставимо знайдені значення у формули для площ бічної поверхні повного та усіченого конусів.
Формула об'єму усіченого конуса. Обсяг усіченого конуса дорівнює сумі об'ємів трьох конусів, що мають однакову висоту з усіченим конусом, а основами: один – нижня основа цього конуса, інший – верхня, а третій – коло, радіус якого є середнє геометричне між радіусами верхнього та нижнього основ.
Доказ: Помістимо на верхній підставі зрізаного конуса малий конус, що доповнює його до повного і розглянемо обсяг його як різницю обсягів двох конусів.
Доказ: Обчислимо висоту повного конуса з подоби трикутників.
Доказ: Обсяги повного та додаткового конусів відносяться як куби радіусів основ.
Доказ: Віднімемо зоб'єму великого конуса об'єм малого конуса.
Знайдіть обсяг усіченого конуса, якщо відомі його висота та радіуси основ.
Подібні циліндри та конуси. Подібні циліндри або конуси можна розглядати як тіла, отримані від обертання подібних прямокутників або прямокутних трикутників.
Перетин, паралельний підставі конуса, відсікає від нього малий конус, подібний до великого.
У циліндрі проведено переріз, паралельний підставі. Чи буде малий циліндр, який відсікається цим перетином, подібний до великого?
Площа бічних поверхонь подібних циліндрів і конусів відносяться як квадрати радіусів або висот, а об'єми - як куби радіусів або висот.
У конусі, висота якого відома, проведено переріз, паралельний підставі. Відомо також співвідношення обсягів малого та великого конусів. На якій відстані від основи знаходиться перетин?
Радіуси основ усіченого конуса відносяться як 2:3. Висота конуса розділена на три рівні частини, і через точки поділу проведені площини, паралельні основам. Знайти, у якому відношенні розділився обсяг усіченого конуса.
Рішення: Знаючи, що радіуси основ конуса відносяться як два до трьох, позначимо радіуси як 2а та 3а та розглянемо осьовий переріз конуса.
Рішення:1) Використовуючи подібність, знайдемо радіуси проведених перерізів.
Рішення2) Добудувавши зрізаний конус до повного, знайдемо, яку частину від повного конуса становлять менші конуси.V - обсяг найбільшого конуса
Рішення: 3) Визначимо, яку частину від об'єму повного конуса становлять усічені конуси, розташовані між сусідніми перерізами і знайдемо відношення об'ємів цих конусів.