Увігнутість та опуклість функції, що стосується
Розглянемо інші характеристики функцій -увігнутість і опуклість. Йдеться знову про інтуїтивне поняття, адже всі знають, коли поверхня увігнута, а коли опукла. Якщо на столі ми бачимо предмет, здатний вмістити рідину, ми говоримо, що він увігнутий (як, наприклад, миска). Цей предмет, якщо його перевернути і знову покласти на стіл, продемонструє нам опуклу поверхню. Тобто увігнуті поверхні далі від нас, а опуклі ближче. Але це залежить від погляду. Один і той самий предмет може бути увігнутим або опуклим залежно від того, з якого боку на нього дивитись.
Коли йдеться про функції, застосовується наступний підхід: ми встаємо на горизонтальну вісь і дивимося вгору. І це все. Але все ж таки нам потрібне суворіше визначення. Для того, щоб його отримати, ми зробимо таке. Візьмемо дві будь-які точки на кривій і з'єднаємо їх хордою. Якщо функція розташована зверху хорди, вона опукла в інтервалі, визначеному точками; а якщо знизу, то вона увігнута.
Увігнутість і опуклість - це характеристики, які пов'язані зпоняттям кривизни, так як вони однозначно визначають напрямок вигину графіка кривої.
Точка, в якій функція змінюється з увігнутою на опуклу або навпаки, називаєтьсяточкою перегину.
Одним із найбільших відкриттів, зроблених у вивченні функцій, стало аналітичне визначення дотичної , тобто визначення рівняння дотичної прямої в точці на заданій кривій. У випадку можна сказати, що дотична пряма — це пряма, що стосується кривою лише у точці, не перетинаючи її.
Подивимося, що відбувається з дотичною, коли ми наближаємося до максимуму.
Бачимо, що дотична утворює кут менше 90° з віссю ОХ тих інтервалах, дефункція зростає, і кут більше 90 ° на інтервалах, де функція зменшується. Змінюючи свій нахил, дотична неодмінно пройде через точку дотику, де, перебуваючи в горизонтальному положенні, складе кут в 0° з віссю абсцис. Це відбувається завжди, коли ми зустрічаємось з максимумом. Те саме відбувається і в точках мінімуму, адже дотична, що проходить через них, теж горизонтальна. Але горизонтальність дотичної в будь-якій точці не є гарантією, не є достатньою умовою того, що в цій точці функція проходить максимум або мінімум. Може статися так, що йтиметься про точку перегину — про ту точку, яка відокремлює увігнуту зону від опуклої. Проте в ситуації, коли кут між дотичною і віссю абсцис дорівнює нулю, завжди є можливість визначити аналітичними методами, чи йдеться про межу (максимум або мінімум) або про точку перегину.