Варіаційне літочислення - Природні граничні умови

Приклад 7.1. Вирішити приклад 2.1 за незаданої граничної умови на правому кінці.

Загальне рішення має вигляд (2.16). Природна гранична умова (7.4) (2.12) дає:

Складаємо систему рівнянь для знаходження довільних постійних:

Звідси і розв'язання задачі:

Перевіримо за допомогою MATLAB, чому дорівнює функціонал (2.10) на кривій (7.7):

Видно, що отримане значення менше результату прикладу 2.1: там Це і не дивно: якщо ми шукаємо мінімум на ширшому класі функцій, то він буде принаймні не більше, а, можливо, і менше, ніж мінімум на вужчому класі функцій .

До цього результату можна дійти й іншим шляхом. Візьмемо всі функції виду (2.16) (загальне рішення рівняння Ейлера), і виберемо їх ті, що задовольняють граничному умові на лівому кінці. З рівняння (2.17) маємо: і будь-яке рішення рівняння Ейлера, що проходить через точку має вигляд:

Яким же потрібно взятиC1, щоб функціонал (2.10) набув екстремального значення? Вирішимо це завдання за допомогою MATLAB:

Отримали той самий результат: .

7.2. Функціонал, що залежить від кількох функцій, без граничної умови

Матеріал цього розділу викладено у книзі.

7.3. Запитання для самоперевірки

1. Яке варіаційне завдання ми вирішуємо?
2. Чи є клас допустимих функцій у цій задачі ширшим чи вужчим, ніж у завданнях, які ми розглядали у розділах 2-5?
3. Де менше мінімальне значення функціоналу: у задачі із закріпленим кінцем чи з вільним?
4. Виведіть природні граничні умови (7.15).
5. Виведіть природну граничну умову для функціонала (4.1), що залежить від функції та її похідних до порядку включно, якщо граничні умови виду (4.2) задані лише на лівомукінці інтервалуx1, а правому кінціx2 задані:
6. лише значення функції (варіант 1);
7. лише значення похідної (варіант 2);
8. взагалі нічого не поставлено (варіант 3).

7.4. Приклади виконання завдань

7.4.1. Завдання 1

Знайти екстремаль функціонала, розглянутого раніше в прикладі 1 глави 2, при тій самій граничній умові на лівому кінці, і при незаданій граничній умові на правому кінці. Порівняти рішення із рішенням завдання 1 глави 2.

Складемо програму для вирішення цього завдання. Так як нам потрібно порівняти рішення із завданням 1 глави 2, скористаємося програмою для цього прикладу як заготівлею. Внесемо до неї такі зміни:

• змінимо заголовок задачі: тепер це завдання 7.1, а чи не 2.1;
• приберемо печатки всіх проміжних результатів;
• додамо друк природної граничної умови (7.4);
• обчислимо значення функціоналу тільки на екстремалі - рішенні завдання 2.1 і позначимо його J21;
• на прямійM1M2 обчислювати значення функціоналу не будемо;
• не малюємо криву – потім намалюємо все разом.

Тепер переходимо до вирішення нашого прикладу. Аналітичне рішення диференціального рівняння Ейлера отримано – воно таке саме, як і для завдання 2.1. Для знаходження довільних постійних нам потрібно сформувати систему рівнянь. Межова умова зліва – така сама. Формуємо природну граничну умову правому кінці. Для цього у формулу (7.4) підставляємо спочаткуyіy', а потімx2 у всі вирази замістьx.

Вирішуємо систему рівнянь EqLeft та EqRightNat – знаходимо довільні постійні. Підставляємо їх у рішення. Знаходимо значення функціоналу отриманої екстремалі.

Чи вийшло у вас J71? Якщоні, то чому? Проаналізуйте поведінку функціоналу (його величину) на кривих, близьких до екстремалів – вирішень завдань 2.1 та 7.1.

Далі, як і в завданні 2.1, заповнюємо таблицю та будуємо графіки розв'язків двох прикладів на одному малюнку: червона суцільна лінія – рішення нашого прикладу, а синя пунктирна – рішення завдання 2.1.

7.4.2. Завдання 2

Знайти екстремаль функціоналу (3.14), розглянутого раніше у розділі 3, за тих самих граничних умов лівому кінці, і за незаданих граничних умов правому кінці. Порівняти рішення із рішенням завдання з глави 3.

Програму для вирішення цього прикладу складатимемо на основі програми для завдання з глави 3. Внесемо до неї такі самі зміни, як і в програму попереднього завдання 7.1. А саме: приберемо всі печатки, крім вихідних даних та природних граничних умовFy'таFz'. Значення функціоналу обчислимо лише на екстремалі − рішенні завдання 3. Графіки також поки що не будуємо.

Формуємо природні граничні умови (7.15): підставляємо уFy'таFz'обчисленіy,z,y',z', а потім і прирівнюємо отримані вирази нулю.

Вирішуємо отриману систему рівнянь, і підставляємо значення знайдених констант і Друкуємо знайдені рішення. Обчислюємо значення функціоналу на екстремалі.

Чи виконується у вашому варіанті J72? Якщо ні, то проаналізуйте поведінку функціоналу на кривих, близьких до екстремалів – рішень завдань 3 та 7.2.

7.4.3. Завдання 3

Розв'язати задачу про брахистохрон, що з'єднує точку з точкоюM2, у якої задана абсциса і не задана ординатаy2. Порівняти розв'язок отриманої задачі з розв'язанням задачі при закріпленому правому кінці Обчислитичас проходження дистанції лижником із рис. 1.4 у тому та іншому випадку. Намалювати графіки.

Ми вже вирішили це завдання аналітично (7.14). Нам потрібно оформити рішення чисельно і порівняти його з рішенням завдання 3 глави 2. Почнемо з повторення старого прикладу: введемо вихідні дані та повторимо рішення завдання 2.3. Щоб не плутати позначення, у всіх змінних, що належать до цього рішення, поставимо суфікс 23 .

Тепер знайдемо розв'язок нашого завдання: запрограмуємо обчислення за формулою (7.14). Надрукуємо знайдене рішення.

Обчислимо значення функціоналу (2.74) обох варіантів. Рішення у нас отримано в параметричній формі, тому диференціал довжини дуги матиме дещо інший вигляд. Згадайте, як записується для функції, заданої параметрично. Описуємо необхідні символічні змінні, будуємо їх підінтегральну функцію. Обчислюємо функціонали для обох варіантів та друкуємо їх.

Який час виявився меншим?

Тепер малюємо обидві брахістохрони на одному графіку. Як завжди, синьою пунктирною лінією малюємо рішення старого прикладу, а червоною суцільною – нашого 7.3.

---