ВЕКТОРНА ДІАГРАМА графічне зображення значень величин і співвідношень, що періодично змінюються
ВЕКТОРНА ДІАГРАМА графічне зображення значень величин і співвідношень, що періодично змінюються, між ними за допомогою спрямованих відрізків -векторів.
Векторні діаграми широко застосовуються в електротехніці, акустиці, оптиці тощо.
Прості гармонійні. функції одного періоду,
напр. можуть бути представлені графічно у вигляді проекції на вісьОy
векторів, що обертаються з постійною кутовою швидкістю, причому повернені відносно на кути. Довжина векторів відповідає амплітудам коливань:
Сума або різниця двох і більше коливань на векторній діаграмі позначається як геометрична сума або різниця векторів складових коливань, отримана за правилом паралелограма, а миттєве значення величини, що шукається, визначається проекцією вектора суми на вісь
Наприклад, потрібно знайти суму F коливань з амплітудою, з амплітудою. При геометричному додаванні векторів за векторною діаграмою знаходимо, що амплітуда сумарного коливання F дорівнює довжині вектора і випереджає по фазі коливання f на кут
ВЕКТОРНЕ ЗЛІЧЕННЯ, математична дисципліна, в якій вивчають властивості операцій надвекторамиевклідового простору. У цьому поняття вектора є матем. абстракцію величин, що характеризуються як чисельним значенням, а й спрямованістю (напр., сила, прискорення, швидкість).
Виникнення та розвиток векторного обчислення
Виникнення векторного обчислення тісно пов'язане із потребами механіки та фізики. До 19 в. для завдання векторів використовувався лише координатний спосіб, операції над векторами зводилися до операцій над їх координатами.
Лише у сірий. 19 ст. зусиллями ряду вчених було створено векторнеобчислення, в якому операції проводилися безпосередньо над векторами без звернення до координатного способу завдання. Основи векторного обчислення були закладені дослідженнями англійського математика У. Гамільтона та німецького математика Г. Грасмана за гіперкомплексними числами (1844-50). Їх ідеї були використані англійським фізиком Дж. К. Максвеллом у його роботах з електрики та магнетизму. Сучасний вигляд векторного числення надав американський фізик Дж. Гіббс. Значний внесок у розвиток ст. в. внесли українські вчені. Насамперед слід зазначити роботи М. В. Остроградського. Їм було доведено основну теорему векторного аналізу (див.Остроградського формула). Дослідження казанського математика А. П. Котельникова з розвиткугвинтового обчисленнямали важливе значення для механіки та геометрії. Ці дослідження були продовжені радянськими математиками Д. Н. Зейлігером та П. А. Широковим. Великий вплив в розвитку ст. в. мала книга "Векторний аналіз", написана 1907 року українським математиком П. О. Сомовим.
Векторна алгебра. Вектором називають спрямований відрізок (рис. 1), тобто відрізок, у якого вказані початок (наз. також точкою докладання вектора) і кінець.
Довжина спрямованого відрізка, що зображує вектор, називають довжиною або модулем вектора. Довжина вектораапозначається . Вектори називаються колінеарними, якщо вони лежать або на одній прямій або на паралельних прямих. Два вектори називаються рівними, якщо вони колінеарні, мають однакову довжину та однаково спрямовані. Усі нульові вектори вважаються рівними. Зображені на рис. 1 вектори а та b колінеарні та рівні.
У векторному численні розглядаються вільні вектори.
У векторній алгебрі важливу роль відіграють лінійні операції над векторами:операція складання векторів та множення вектора на дійсне число. Сумоюа + bвекторів зв. вектор, що йде з початку вектораана кінець вектораbза умови, що початок вектораbприкладено до кінця вектораа(рис. 2). Походження цього правила пов'язане з правилом паралелограма додавання векторів (рис. 3), джерелом якого є експериментальний факт складання сил (векторних величин) за цим правилом. Побудова суми кількох векторів зрозуміла з рис. 4. Добутком вектораана число а зв. вектор, колінеарний векторуа, що має довжину, рівну і напрямок, що збігається з напрямкомапри а0.
Операції складання векторів і множення вектора на число мають слід, властивостями:
У векторній алгебрі часто використовують поняття лінійно залежних і лінійно незалежних векторів.
Розвиток та застосування векторної алгебри тісно пов'язане з різними типами векторних творів: скалярного, векторного та змішаного. Поняттяскалярного творувекторів виникає, напр., при розгляді роботи силиFна заданому шляху S: робота дорівнює , де ф - кут між векторами F і S. Математично скалярний добуток векторів a і b визначається як число, що позначається(а,b)і дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними:
У диференціальній геометрії векторні функції одного аргументу використовуються для завдання кривих. Для завдання поверхонь користуються векторними функціями двох аргументів.
Векторний аналіз
У механіці, фізиці та геометрії широко використовуються поняття скалярного та векторного поля. Температура нерівномірно нагрітої пластинки, щільність неоднорідного тіла є фіз. приклади відповідно плоского тапросторового скалярного поля. Векторне поле утворює безліч всіх векторів швидкостей частинок потоку рідини, що встановився. Прикладами векторних полів можуть служити поле сили тяжіння, магнітне і електрич. напруга електромагнітного поля.
Для матем. Завдання скалярних та векторних полів використовуються відповідно скалярні та векторні функції. Зрозуміло, що щільність тіла є скалярною функцією точки, а поле швидкостей частинок встановленого потоку рідини - векторну функцію точки. Матем. апарат теорії поля зазвичай зв. Векторний аналіз. Для геом. Показники скалярного поля використовують поняття ліній і поверхонь рівня. Лінією рівня плоского скалярного поля зв. лінія, на якій функція, що задає поле, має незмінне значення. Аналогічно визначається поверхня рівня просторового поля. Прикладами лінії рівня можуть бути ізотерми - лінії рівня скалярного поля температур нерівномірно нагрітої пластинки.
Для характеристики векторних полів вводиться ціла низка понять: векторної лінії, векторної трубки, циркуляції векторного поля, дивергенції та вихору (ротора) векторного поля.
Кочин Н. Е., Векторне обчислення та початки тензорного обчислення, 6 видавництво, Л.-М., 1938;
Дубнов Я. С., Основи векторного обчислення, 4 видавництва, т. 1-2, М., 1950-52;
Будак Би. М., Фомін С. Ст, Кратні інтеграли та ряди, 2 видавництва, М., 1967.