Відкрита Фізика
Коливання, які відбуваються під впливом зовнішньої періодичної сили, називаються вимушеними.
У цьому випадку зовнішня сила здійснює позитивну роботу та забезпечує приплив енергії до коливальної системи. Вона не дає коливань загасати, незважаючи на дію сил тертя.
Періодична зовнішня сила може змінюватись у часі за різними законами. Особливий інтерес представляє випадок, коли зовнішня сила, що змінюється за гармонічним законом із частотоюω, впливає на коливальну систему, здатну здійснювати власні коливання деякою частотоюω0.
Якщо вільні коливання відбуваються на частотіω0, яка визначається параметрами системи, то вимушені коливання, що встановилися, завжди відбуваються на частоті ω зовнішньої сили.
Після початку впливу зовнішньої сили на коливальну систему необхідно деякий час для встановлення вимушених коливань. Час встановлення по порядку величини дорівнює часу згасання вільних коливань в коливальній системі.
У початковий момент у коливальній системі збуджуються обидва процеси – вимушені коливання на частотіωта вільні коливання на власній частотіω0. Але вільні коливання згасають через неминучу наявність сил тертя. Тому через деякий час у коливальній системі залишаються тільки стаціонарні коливання на частотіωзовнішньої сили, що змушує.
Розглянемо як приклад вимушені коливання тіла на пружині (рис. 2.5.1). Зовнішня сила F → н додається до вільного кінця пружини. Вона змушує вільний (лівий на рис. 2.5.1) кінець пружини переміщатися згідно із закономy = ym cosωt. деym – амплітуда коливань,ω- кругова частота.
Такий закон переміщення можна забезпечити за допомогою шатунного механізму, який перетворює рух по колу в поступально-поворотний рух (рис. 2.5.1).
Якщо лівий кінець пружини зміщений на відстаньy, а правий – на відстаньxвід їхнього початкового положення, коли пружина була недеформована, то подовження пружиниΔlдорівнює:Δl = x – y = x – ym cosωt.
Другий закон Ньютона для тіла масоюmнабуває вигляду:ma = -k(x - y) = -kx + kym cosωt.
У цьому рівнянні сила, що діє на тіло, представлена у вигляді двох доданків. Перший доданок у правій частині - це пружна сила, що прагне повернути тіло в положення рівноваги (x = 0). Другий доданок - зовнішнє періодичне вплив на тіло. Це доданок і називають силою, що змушує.
Рівнянню, що виражає другий закон Ньютона для тіла на пружині за наявності зовнішнього періодичного впливу, можна надати строгу математичну форму, враховуючи зв'язок між прискоренням тіла та його координатою: a = x ċ ċ . Тоді рівняння вимушених коливань запишеться у вигляді x ċ ċ + ω 0 2 x = A cos ω t , де ω 0 = k m – власна кругова частота вільних коливань,ω– циклічна частота сили, що змушує. У разі вимушених коливань вантажу на пружині (рис. 2.5.1) величинаAвизначається виразом: A = k m y m = ω 0 2 y m .
Рівняння (**) не враховує дії сил тертя. На відміну від рівняння вільних коливань (*) (див. §2.2), рівняння вимушених коливань (**) містить дві частоти –частотуω0вільних коливань і частотуωсили, що змушує.
Вимушені коливання вантажу, що встановилися, на пружині відбуваються на частоті зовнішнього впливу за закономx (t) = xmcos(ωt + θ).
Амплітуда вимушених коливаньxm і початкова фазаθзалежать від співвідношення частотω0іωі від амплітуди ym зовнішньої сили.
На дуже низьких частотах, колиω F → вн , прикладена до лівого кінця пружини, роботи не здійснює, тому модуль цієї сили приω Вимушені коливання
У коливальних систем з не дуже високою добротністю (
Вимушені коливання – це коливання. Неминучі втрати енергії на тертя компенсуються підведенням енергії від зовнішнього джерела сили, що періодично діє. Існують системи, в яких незатухаючі коливання виникають не за рахунок періодичного зовнішнього впливу, а в результаті наявної у таких систем здатності регулювати надходження енергії від постійного джерела. Такі системи називаються автоколивальними, а процес незагасаючих коливань у таких системах – автоколиваннями. В авто коливальній системі можна виділити три характерні елементи – коливальна система, джерело енергії та пристрій зворотного зв'язку між коливальною системою та джерелом. Як коливальної системи може бути використана будь-яка механічна система, здатна здійснювати власні затухаючі коливання (наприклад, маятник настінного годинника).
Джерелом енергії можеслужити енергія деформація пружини або потенційна енергія вантажу на полі тяжкості. Пристрій зворотного зв'язку є деяким механізмом, за допомогою якого автоколивальна система регулює надходження енергії від джерела. На рис. 2.5.3 зображено схему взаємодії різних елементів автоколивальної системи.
Прикладом механічної автоколивальної системи може бути годинниковий механізм з анкерним ходом (рис. 2.5.4). Ходове колесо з косими зубами жорстко скріплене із зубчастим барабаном, через який перекинутий ланцюжок із гирей. На верхньому кінці маятника закріплений анкер (якорек) з двома пластинками з твердого матеріалу, вигнутими по дузі кола з центром на осі маятника. У ручному годиннику гиря замінена пружиною, а маятник – балансиром – маховичком, скріпленим зі спіральною пружиною. Балансир здійснює крутильні коливання довкола своєї осі. Коливальною системою в годиннику є маятник або балансир. Джерелом енергії – піднята вгору гиря чи заведена пружина. Пристроєм, за допомогою якого здійснюється зворотний зв'язок, є анкер, що дозволяє ходовому колесу повернутися на один зубець за півперіод. Зворотний зв'язок здійснюється взаємодією анкера із ходовим колесом. При кожному коливанні маятника зубець ходового колеса штовхає анкерну вилку у бік руху маятника, передаючи йому деяку порцію енергії, яка компенсує втрати енергії на тертя. Таким чином, потенційна енергія гирі (або закрученої пружини) поступово окремими порціями передається маятнику.
Механічні автоколивальні системи широко поширені в навколишньому житті і в техніці. Автоколивання здійснюють парові машини, двигуни внутрішнього згоряння, електричнідзвінки, струни смичкових музичних інструментів, повітряні стовпи в трубах духових інструментів, голосові зв'язки під час розмови чи співу тощо.
