Вихрова лінія
Як ми з'ясували, потік, що має вихровий рух, характеризується вектором умов швидкості ώ (вихор). Таким чином, потік рідини характеризується векторним полем. За аналогією до II.1. вводиться поняття вихрової лінії та трубки.
Вихровою лінією називається лінія, дотична до якої у будь-якій точці збігається з напрямом вектора кутової швидкості у точці торкання.
Аналогічно (II.1.2) рівняння вихрової лінії має вигляд
Сукупність вихрових ліній, що пронизують замкнутий контур називається вихровою трубкою, а рідина, що її замінює – вихровим шнуром.
Мірою інтенсивності вихрового шнура служить напруженість вихрового шнура (Г)
якщо перетин під кутом
Нескінченний тонкий вихровий шнур вихровою ниткою
Циркуляція швидкості
Виберемо у полі швидкостей довільний контур, замкнутий. І елемент dL у цьому контурі. Проекція вектора υ на елемент контуру dL позначається
Твір (проекції вектора на елемент контуру L) на довжину цього елемента називається елементарною циркуляцією швидкості.
Якщо необхідно обчислити циркуляцію від А до В то
Якщо контур замкнутий, то
Або у векторній формі
Теорема Стокса
а) розглянемо прямокутний трикутник б. малий за величиною
при обчисленні циркуляції з цього контуру будемо припускати, що у всіх точках кожної зі сторін швидкість однакова. (Облік цих змін уздовж стінок дав би дуже малу похибку і ми це не враховували) таким чином маємо:
для боку ас швидкість визначимо у середній точці. І вважатимемо її постійною стороні ас. Тоді елементарна циркуляція
то підставляючи отримаємо
б)Розглянемо косокутний трикутник б.м.
проведемо з т. перпенд. на АС. Отримаємо два прямокутні трикутники. На підставі (11.1) маємо
складемо ці рівності
суми вихорів потоку пронизують обидва майданчики
розглянемо ліву частину рівності
в) Розглянемо чотирикутник б.м.
з'єднавши а і з маємо два косокутні т-ка.
напр. вихорів через контур чотирикут.
При обчисленні сумарної звернемо увагу на що:
Виберемо замкнутий контур L, що спирається на поверхню S. Розбиваємо S на елементи. Для будь-якої i-ї ділянки
Якщо тепер підсумувати послідовно всі ділянки, враховуючи однакові за значенням, але різні за напрямом циркуляції, то в результаті залишаться лише ділянки на контурі.
Підсумовування елементарних напруженостей вихорів дасть сумарну напруженість вихорів, що пронизують поверхню S.
Таким чином, на підставі (11.1) та наведених вище висновків маємо:
Теорема Стоксациркуляція швидкості за будь-яким замкнутим контуром дорівнює алгебраїчній сумі напруг всіх вихорів, що пронизують поверхню S, що спирається на цей контур і не виходить за межі рідини.
Зауваженняз теореми Стокса випливає, що якщо кутові швидкості частинок рідини дорівнюють 0, (тобто немає вихору) то IL=0. Назад несправедливо, що показано на малюнку.
Тут IL = 0, але вихори є.
Перша теорема Гельмгольця
Виберемо вихровий шнур і розглянемо два його перерізи:
Візьмемо поверхню те щоб вона спиралася на контур L1, тобто. складалася з S1.2 та σ2 тоді згідно (11.2) маємо
Перший інтеграл дорівнює 0,т.к. утворюють трубку лінії- вихрові та ώдотичні до них, тобто. S2 вихори не пронизують.
ТеоремаНапруга вихорів у вихровому шнурі залишається постійною.
З (12.1) та (9.3) випливає, що
Вихрова трубка не може мати всередині рідини ні початку, ні кінця.
Поле швидкостей вихрового шнура
Візьмемо нескінченний вихровий шнур і проведемо навколо нього замкнутий контур-коло радіуса h
По теоремі Стокса (11.2) запишемо: Г = IL
IL = LdL =;
У силу симетрії потоку і в усіх точках кола матиме ту саму величину, тобто.
Зазначимо, що швидкості рівновіддалених симетричних точок будуть рівні та протилежні.
Отже, якщо в нас в рідині є вихор, то епюра швидкостей має вигляд (див. мал.).
тут є дві області:
розглянемо перебіг частинок рідини у кожній області