Використання гомологічної відповідності для вирішення задач накреслювальної геометрії,
ВИКОРИСТАННЯ ГОМОЛОГІЧНОЇ ВІДПОВІДНОСТІ ДЛЯ РІШЕННЯ ЗАВДАНЬ НАЧЕРТАЛЬНОЇ ГЕОМЕТРІЇ
наукові керівники канд. техн. наук, доц.
Сибірський федеральний університет
Візьмемо в просторі два плоскі поляaіb, а також точкуS, що не належить жодному з полів (рис. 1,а). ЧерезSі довільну точкуАполяaпроведемо проецирующий промінь [SА). Він перетнеbу точціА¢. В результаті такої операції точціАплоского поляaбуде поставлена у відповідність точкаА¢поляb. І навпаки, точціА¢відповідає точкаА.Така відповідність називається взаємно - однозначною. Записується це такАА¢. ТочкиАіА¢називаються відповідними. При такому проектуванні прямої лініїm→m¢, аm¢→m. ТочкамB,C,DÎm→B¢,C¢,D¢Îm¢. Крапки, що лежать на одній прямій, називаються колінеарними, а відповідність, при якому зберігається колінеарність точок, називається колінеарною відповідністю абоколінеацією.
Якщо такі поля поєднати, то отримаємо колінеацію суміщених полів. При цьому може виникнути окремий варіант, коли відповідні прямі лінії перетинатимуться в точках, що лежать на одній прямій, а відповідні точки лежать на променях, що проходять через одну загальну точку. Така відповідність називаєтьсягомологією.Згадана вище пряма називаєтьсявіссю гомології, а загальна точка променів -центромгомології. Гомологія може бути як просторової, і плоскої. У просторі віссю гомології є лінія перетину площин. Центр гомології збігається із центром проектування.
Гомологія цілком визначена, якщо заданий її центр, вісь і пара відповідних точок.Маючи такий набір, можна побудувати скільки завгодно гомологічних пар точок. Так, на рис. 1,бдано вісьs, центрS, пара відповідних точокА1→А2та точкаМ1. Потрібно побудуватиМ2→М1.
Побудова.Проводимо прямуА1М1до перетину її з віссюsу подвійній точці11≡12. Через подвійну точку іА2проводимо пряму, відповіднуА1М1. З центруSпроводимо промінь [SМ1). Шукана точкаМ2вийде на перетині побудованої прямої з проведеним променем.
Гомологічні відповідності виникають при вирішенні багатьох завдань геометрії, в яких фігурує площину. Розглянемо це з конкретних прикладах.
Приклад 1. Задано три точкиА¢,В¢,С¢, в яких площина загального положення перетинає ребраАS,ВSтаСSпірамідиSABCDE. Добудувати перетин (рис.2).
Пари точокА,А¢,В,В¢таС,С¢можна як гомологічно відповідні точки двох плоских полів: площини основи і січної площини. Ця відповідність встановлена шляхом проектування з вершиниSпіраміди. Продовживши сторониАВіА¢В¢,ВСтаВ¢С¢до взаємного перетину, отримаємо дві подвійні точкиK≡K¢таM≡М¢, через які пройде лінія перетину площин. Вона є віссю гомології. Прийомом, показаним на рис. 1,б, знаходимоD¢→DтаЕ¢→Е. Отримуємо перетинА¢В¢С¢D¢Е¢→ABCDE.
Приклад 2.Добудувати фронтальну проекцію перерізу похилого циліндра площиною загального положення, якщо задана лініяmперетину січної площини з площиною основи циліндра та точкаА1¢перетину утворюючоїl1циліндра з січною площиною (рис. 3).
Гомологічними будуть фігура перерізу і фігура основи циліндра, з площиною якого побудована лінія перетину січною площиною. Вісь гомологіїs≡m, центрSнескінченно видалений у напрямку, паралельному утворюючим циліндра. Парою відповідних точок єА1¢і точкаА1основи, через яку проходить утворюючаl1циліндра. Для побудови перерізу вибираємо на підставі будь-яку точку, наприклад,В1. ПроводимоА1В1до перетину з віссю:А1В1∩s=1. Відповідна пряма пройде через точкиА1¢та1. На перетині цієї прямої з твірною, що проходить черезВ1, отримуємоВ1¢→В1. Аналогічно будуються інші точки. Причому з цією метою можна використовувати будь-яку вже побудовану пару точок. Отримані точки послідовно з'єднуємо з урахуванням їхньої видимості.
Приклад 3.Побудувати контур власної тіні сфери за стандартного освітлення (рис.4).
При стандартному висвітленні проекція світлового променя спрямована під кутом 45° до горизонталі. Контуром власної тіні сфери єеліпс, велика вісь якого дорівнює діаметру сфери і проходить через точкиАіВдотику світлових променів з її нарисом. Еліпс та нарис сфери гомологічні. Осю гомології є пряма лінія, що проходить черезАтаВ. Центр гомології нескінченно видалено у напрямку проекції джерела освітлення. Відповідно до закономірності контур власної тіні будь-якої поверхні обертання на нарисі та осі має точки одного рівня. Перенесемо точкупо вертикалі на горизонтальний діаметр. Отримаємо точкуС¢, що належить еліпсу. Проведемо через неї світловий промінь і відзначимо точкуСперетину променя з нарисом сфери. Отже гомологія встановлена віссюs, центромSі парою відповідних точокС→С¢. Беремо будь-які точки нарису та будуємо їм відповідні так, як показано на рис. 1,б.
Приклад 4.Побудувати тіні пластин, що перетинаютьсяАВСіDEFпри факельному освітленні, якщо задане джерело освітленняSі тіньА¢від вершиниАна пластинуDEF(рис. 5).
Відомо, що якщо пряма перетинає площину, то тінь від прямої лінії на цю площину проходить через їх точку перетину. Тому тінь від пластиниАВСна площинуDEFпіде зА¢у точкиМіN.
Для побудови тіні від пластиниDEFна площинуАВСвикористовуємо гомологію, вісьsякої збігається з лінієюKMперетину пластин, центрSзбігається з джерелом освітлення, пара відповідних точокА→А¢. У площиніАВСпобудуємо пряму лінію, відповіднуDF. Продовжимо прямуА¢Mдо перетину зDFу точці1:А¢M∩DF=1.ОскількиА¢M→АВ, то на перетині променя [S1) зАВотримуємо1¢→1. ПрямаDF∩s=2≡2¢. Пряма лінія, відповіднаDF, пройде через точки2≡2¢та3¢. На перетині променя [SD) з побудованою прямою лінією отримаємоD¢→D. Частина прямої лініїD¢2¢, розташована в межах пластиниАВС, являє собою тінь, що падає на її від бокуDF. З'єднавшиD¢з точкоюK, отримаємо тінь на ту ж пластину від сторониDЕ.
Приклад 5.Побудувати тіні піраміди і пластини, що перетинає її, при заданому паралельному освітленні і тініtDвід вершини піраміди на площину її основи (рис. 6).
У площинах пластини та основи піраміди встановлюються дві гомології із загальною віссю та двома різними центрами. Центром однієї з них є вершина піраміди, центром іншої – джерело висвітлення. У першій гомології відповідними точками єА→А¢,В→В¢,С→С¢. Беремо дві пари відповідних прямихАВ→А¢В,¢ВС→В¢С¢і продовжуємо їх до взаємного перетину у подвійних точках:1≡1¢та2≡2¢. Через подвійні точки проводимо вісь гомологіїs. Побудуємо пару відповідних точок у другій гомології. Для цього проводимо промінь [SD). Він перетинає площину основи в заданій точціtD. Проводимо прямуtDАдо перетину зsу точці3≡3¢. Відповідна їй пряма пройде через3≡3¢таА¢. Відзначаємоперетин цієї прямої з променем [SD). Отримуємоt¢D→tD. Тінь від піраміди на пластину піде з точкиt¢DВ¢іС¢. Тінню від пластиниELKна площину основи піраміди буде відповідна їй фігура в гомології, визначеній побудованою вище віссюs, центромSта парою відповідних точокtD→t¢D. БудуємоtЕ→Е,tL→LтаtK→K. ТрикутникtЕtLtK– тінь від пластиниELKна площину основи пірамідиDABC. У точках перетину тіні зі стороноюАВоснови піраміди тінь переломиться її межуDAB. Вона піде в точки перетину прямоїА¢В¢зі сторонами пластини. ГраньDВСпіраміди перебуває у тіні.
З розглянутих прикладів видно, що гомологічна відповідність дозволяє виконати необхідні побудови по одній проекції, що дає перевагу цього перед традиційними прийомами.