Використання MathCAD2000 та Microsoft Excel для реалізації чисельних методів
Розділи: Математика
Під час вивчення дисципліни “Математика” серед спеціальних навчальних закладах передбачається розгляд теми: “Елементи чисельних методів”. Використання MathCAD 2000 та Microsoft Excel для реалізації чисельних методів дозволяє сформувати розуміння математичного змісту конкретного методу та вміння використовувати сучасні програмні засоби. При використанні MathCAD 2000 та Microsoft Excel під час виконання лабораторних робіт студенти отримують можливість використовувати знання, отримані щодо дисципліни “Інформатика”.
Можливості MathCAD 2000 дозволяють будувати графіки залежностей, графічно відокремлювати коріння рівнянь, вирішувати рівняння та системи рівнянь, перетворювати отримані вирази, перевіряти правильність отриманого наближеного рішення.
Можливості Microsoft Excel дозволяють не витрачати час на проведення однотипних розрахунків, швидко виправляти помилки, що виникають у обчисленнях.
Використання MathCAD 2000 і Microsoft Excel для наближеного розв'язання систем лінійних рівнянь алгебри методом ітерацій.
На першому етапі наближеного рішення СЛА методом простої ітерації необхідно привести систему до нормального вигляду. Для цього потрібно виразити х із першого рівняння, y з другого рівняння тощо. Це можна зробити за допомогою Math CAD 2000. При цьому можна використовувати один із способів розв'язання рівнянь: набирається рівняння, причому рівно ставиться жирне (+) і дається командаsolveз панелі “Символіка”, після вказівки змінної, відносно якій необхідно розв'язати рівняння, отримаємо результат.
На другому етапі рішення необхідно перевірити для отриманої системи, приведеної до нормального вигляду умову збіжності ітераційного процесу, тобто порівнятинорми матриці із одиницею. Наприклад, перевірити умову, що найбільша сума модулів елементів стовпців менше 1. Це також можна зробити за допомогою Math CAD 2000. При цьому використовується функціяnorm1(А)зі стандартного набору функцій.
Ітераційний процес зручніше здійснити у Microsoft Excel. У стовпець А заноситься номер ітераційного кроку, до стовпчиків В, С, D – значення хk, yk, zk у стовпці E,F,G – значення хk+1, yk+1, zk+1, у стовпці Н можна обчислювати значення похибки обчислень на даному кроці ітерації, щоб виконати обчислення із заданим ступенем точності.
При заповненні осередків В3, С3, D3 краще посилатися на осередки E2, F2, G2, а не вводити дані вручну, це дозволить раціональніше використовувати час, краще використовувати автозаповнення та простіше виправляти помилки.
У правильності отриманих результатів можна переконатися, якщо вирішити систему за допомогою MathCAD 2000. Це можна зробити за допомогою командgivenтаfind.
Для вирішення даної системи методом Зейделя достатньо буде лише змінити формули для обчислення , yk, zk.
Приклад використання MathCAD 2000 і Microsoft Excel для наближеного рішення системи лінійних рівнянь алгебри методом простих ітерацій і методом Зейделя можна побачити на рис.1.
Використання MathCAD 2000 та Microsoft Excel для інтерполювання кубічними сплайнами
Зараз широкого поширення для інтерполяції набуло використання кубічних сплайн-функцій – спеціальним чином побудованих багаточленів третього ступеня.
При здійсненні цього методу функції, заданої чотирма точками, необхідно скласти і розв'язати систему дев'яти рівнянь з дев'ятьма невідомими. Складати цю систему доводиться вручну. Вирішити, отриману систему краще в MathCAD2000, це заощадить час і дозволить швидко виправити можливі помилки. Це можна зробити за допомогою командgivenіfind,або матричним способом.
Перевірити правильність виконання сплайн-інтерполіювання можна, побудувавши графік даної функції та отриманого сплайну в MathCAD 2000. Для цього задаються: матриці Х і У вихідних даних, три відрізки на яких будується сплайн-функція. Потім задаються всі три функції, що визначають сплайн-функцію (аргумент у кожної повинен бути різний, відповідний відрізку, на якому ця функція побудована). Останній етап – побудова графіка. Щоб встановити кілька аргументів і функцій використовується кома. Якщо клацнути по полю графіка 2 рази, то з'явиться вікно форматування графіків, в закладціХ–У Axecможна задати лінію сітки, а в закладціTracesзадати вид лінії графіка та побудувати графік вихідних даних точками, а графік отриманої сплайн-функції суцільною лінією.
Приклад використання Math CAD 2000 для інтерполювання кубічних сплайнів можна побачити на рис.2.
Швидко прорахувати варіанти завдань викладачеві допоможе шаблон, заготовлений у MathCAD 2000 (рис. 3). Отримані відповіді допоможуть швидко знайти помилку, допущену студентом, та допомогти йому виправити її.
Використання MathCAD 2000 та Microsoft Excel для пошуку екстремуму функції методом золотого перерізу
При розв'язанні задачі на пошук екстремуму функції методом золотого перерізу необхідно спочатку визначити відрізок, якому належить мінімум чи максимум. Це можна зробити, побудувавши графік цієї функції MathCAD 2000. Виконавши форматування графіка, можна вказати досить малий відрізок, якому належить екстремум функції.
Уточнювати значення екстремуму із заданим ступенем точності кращеу Microsoft Excel. У стовпці A і D зручно занести значення кінців відрізка цьому кроці, а стовпці B і C – формули знаходження точок, які здійснюють золотий переріз даного відрізка. У стовпцях E і F обчислюються значення функції цих точках, а стовпці G – обчислюється довжина аналізованого відрізка, т. е. точність обчислення цьому кроці. Для наочності вибору наступного відрізка, що розглядається, можна виділяти осередки кольором. Наступні рядки заповнюються за допомогою автозаповнення.
Правильність рішення можна перевірити в MathCAD 2000. Для цього необхідно скористатися правилами знаходження екстремуму функції засобами математичного аналізу. Знайти похідну функції та вирішити отримане рівняння допоможуть панелі “Калькулус” та “Символіка”.
Приклад використання MathCAD 2000 та Microsoft Excel для знаходження екстремуму функції методом золотого перерізу можна побачити на рис.4.
Використання MathCAD 2000 і Microsoft Excel для пошуку екстремуму функції методом Ньютона
При знаходженні екстремуму функції методом Ньютона MathCAD 2000 допоможе не тільки визначити відрізок, якому належить екстремум, але і обчислити необхідні для вибору початкового наближення першу, другу, третю похідні та значення на кінцях відрізка, що розглядається.
Знайти екстремум із заданим ступенем точності можна у Microsoft Excel. У стовпець А заноситься початкове значення екстремуму, в шпальтах В і З обчислюються значення першої та другої похідних у цій точці. У стовпці D обчислюється за формулою Ньютона уточнене значення екстремуму, а стовпці Е – точність обчислення цьому кроці.
Приклад використання Math CAD 2000 та Microsoft Excel для знаходження екстремуму функції методом Ньютона можна побачити нарис.5
Використання MathCAD 2000 та Microsoft Excel для апроксимації функцій методом найменших квадратів
При здійсненні лінійної апроксимації функцій методом найменших квадратів для складання рівняння регресії спочатку необхідно обчислити числа Мх, Мху, Му, Мх 2 це зручно зробити в Microsoft Excel, використовуючи автосумування.
За отриманими значеннями Мх, Мху, Му, Мх 2 складається система після вирішення якої можна буде записати рівняння регресії. Вирішити систему можна за допомогою MathCAD 2000.
Правильність обчислень можна перевірити в MathCAD 2000. Функції interсept(Х,У) та slope(Х,У) обчислюють за заданими векторами експериментальних даних Х, значення а0 і а1 для запису рівняння лінійної регресії у вигляді j(х)=а0+а1х .
Потім за допомогою MathCAD 2000 можна переконатися, що отримане рівняння регресії апроксимує таблично задану функцію, побудувавши в одній системі координат графік цієї функції і отриманого рівняння регресії. Можливості
Приклад використання MathCAD 2000 та Microsoft Excel для складання рівняння лінійної регресії можна побачити на рис.6.
Аналогічно використовуються MathCAD 2000 і Microsoft Excel для виконання апроксимації функцій багаточленами другого ступеня та складання рівнянь регресії, що перетворюються на лінійну. Приклади представлені на рис.7 і рис.8.
Використання MathCAD 2000 для чисельного розв'язання диференціальних рівнянь методом Рунге-Кутта
Здійснення чисельного рішення диференціального рівняння методом Рунге-Кутта навіть у Microsoft Excel дуже трудомісткий процес. MathCAD 2000 дозволяє полегшити це завдання.
Вирішити диференціальне рівняння методом Рунге-Кутта в MathCAD 2000 можнадвома способами: за допомогою вбудованої функції та безпосередньо за формулами.
При безпосередньому здійсненні методу Рунге-Кутта задаються формули для обчислення необхідних коефіцієнтів, а потім створюється цикл для обчислення за допомогою їх значень значень.
Вбудована функціяrkfixedдозволяє здійснити метод Рунге-Кутта, не роблячи жодних обчислень. За допомогою цієї функції можна запропонувати студентам перевірити обчислення, виконані за формулами, а викладачеві швидко прорахувати різні варіанти.
Приклад використання MathCAD 2000 для реалізації методу Рунге-Кутта чисельного розв'язання диференціального рівняння можна побачити на рис.9.
Застосування MathCAD 2000 та Microsoft Excel для реалізації чисельних методів та для вирішення інших математичних завдань допоможе студентам не тільки краще зрозуміти прийоми розв'язання задач, не гаючи часу на рутинні обчислення, але й створить можливості для використання цих програм при подальшому навчанні та професійній діяльності.