Вирішення систем лінійних рівнянь

Однією з найважливіших завдань у технічних додатках та розрахунках є завдання розв'язання систем лінійних рівнянь. У матричних позначеннях дана задача може бути сформульована наступним чином. При заданих двох матрицях A і B, чи існує така єдина матриця X, що AX = B чи XA = B?

Для наочності розглянемо одновимірний приклад. Чи має рівняння

єдине рішення? Відповідь, зрозуміло, так. Це рівняння має єдиний розв'язок x = 3 . Рішення може бути легко отримано звичайним поділом.

Рішення при цьому зазвичай не полягає у визначенні зворотної величини від числа 7 (тобто величини = 0.142857 ...), і наступним множенням числа на число 21. Це було б більш трудомістким і, якщо число представлене кінцевим числом цифр (розрядів), менше точно. Аналогічні міркування застосовні і до систем лінійних рівнянь алгебри з більш ніж однією невідомою; MATLAB вирішує такі рівняння без обчислення-

ня зворотної матриці. Хоча це і не є стандартним математичним позначенням, система MATLAB використовує термінологію, пов'язану із звичайним розподілом в одновимірному випадку, для опису загального випадку вирішення спільної системи кількох лінійних рівнянь. Два символи поділу / (коса риса (англійською - slash)) і \ (зворотна коса риса (backslash)) використовуються у двох випадках, коли невідома матриця з'являється зліва або праворуч від матриці коефіцієнтів:

X = A\B означає рішення матричного рівняння AX = B

X = B/A означає рішення матричного рівняння XA = B.

Ви можете уявляти це як процес «розподілу» обох частин рівняння AX = B або XA = B на A . Матриця коефіцієнтів A завжди знаходиться в «знаменнику». Умова сумісності розмірностей для X = A\B вимагає, щоб дві матриці A і Bмали однакову кількість рядків. Рішення X тоді має таке ж число стовпців як і B , а число її рядків дорівнюватиме числу стовпців A . Для X = B/A рядки і стовпці змінюються ролями. Насправді, лінійні рівняння як AX = B зустрічаються найчастіше, ніж як XA = B . Отже, зворотна похильна риса використовується більш часто, ніж пряма / . Тому, в частині цього розділу, що залишилася, ми обмежимося розглядом оператора \ ; відповідні властивості оператора / можна вивести з тотожності

У загальному випадку не потрібно, щоб матриця коефіцієнтів A була квадратною. Якщо A має розмір mхn, то можливі три випадки:

1. m = n Квадратна система. Шукається точне рішення.

2. m > n Перевизначена система. Шукається рішення шляхом найменших квадратів.

3. m Невизначена система. Знаходиться базове рішення з найбільшим

числом m ненульових компонентів.

Оператор використовує різні алгоритми для вирішення систем лінійних рівнянь з різними типами матриць коефіцієнтів. Різні випадки, які автоматично діагностуються за типом матриці коефіцієнтів, включають:

• Перестановка трикутних матриць

• Симетричні, позитивно визначені матриці

• Квадратні невироджені матриці

• Прямокутні, перевизначені системи

• Прямокутні, недовизначені системи

Квадратні системи

Найбільш часто зустрічається ситуацією є квадратна матриця коефіцієнтів A і одновимірний праворуч, тобто. Ax = b. Рішення x = A b має при цьому той же розмір, що і вектор b . Наприклад,

де матриця А є наведена матриця Паскаля. Легко переконатися, що A*x точно дорівнює вектору u (чисельні значення цього вектора дано вище).

Якщо A і B єквадратними і мають однаковий розмір, то X = A\B має той самий розмір, наприклад

---