ВИРОДЖЕНА ГІПЕРГЕОМЕТРИЧНА ФУНКЦІЯ

ВИРОЖДЕНА ГІПЕРГЕОМЕТРИЧНА ФУНКЦІЯ, функція Куммера, функція Похгаммера - рішення виродженого гіпергеометричного рівняння

zw'' + (γ - z) w' - αw = 0. (1)

Ст р. ф. може бути визначена за допомогою так зв. ряду Куммера:

де α і γ - параметри, що набувають будь-яких дійсних або комплексних значень, крім γ = 0, -1, -2, . z – комплексне змінне. Функція Ф (α; γ; z) зв. виродженою гіпергеометричною функцією 1-го роду. Друге лінійно незалежне рішення рівняння (1)

зв. виродженою гіпергеометричною функцією 2-го роду.

Ст р. ф. Ф(α; γ; z) - ціла аналітич. функція у всій комплексній площині z; при фіксованому z - ціла функція і мероморфна функція з простими полюсами в точках γ = 0, -1, -2, . . Ст р. ф. Ψ(α; γ z) - аналітич. функція в комплексній площині з розрізом (-∞, 0) і ціла функція α і γ.

Ст р. ф. Ф(α; γ; z) пов'язана з гіпергеометричною функцією F(α; β; γ; z) співвідношенням

Елементарні співвідношення. Чотири функції Ф(α ± 1; γ; z) і Ф(α; γ±1; z) зв. суміжними з функцією Ф(α; γ; z). Між Ф(α; γ; z) і будь-якими двома суміжними з нею існує лінійна залежність. напр.

γФ(α; γ; z) - αФ(α - 1; γ; z) - zФ(α; γ + 1; z) = 0. Шість формул такого типу можуть бути отримані із співвідношень між суміжними функціями для гіпергеометрич. функцій. Послідовне застосування цих рекурентних формул призводить до лінійних співвідношень, що зв'язують функцію Ф(α; γ; z) з асоційованими функціями Ф(α + m; γ + n; z), де m і n -цілі числа.

Основні інтегральні уявлення:

Асимптотич. поведінка Ст р. ф. при z → ∞ може бути вивчено за допомогою інтегральних уявлень (див. [1]-[3]). Якщо γ → ∞, тоді як α та z обмежені, то поведінка функції Ф(α; γ; z) описуєтьсяформулою (2) Зокрема, при великих і обмежених α і z:

Ф(α;γ; z) = 1 + O(γ-1). Подання функцій через У р. ф. Функції Бесселя:

гіпергеометрична

Інтегральна показова функція:

-Ei(-z) = e -z Ψ(1; 1; z).

Інтегральна логарифмічна функція:

li(z) = zΨ(1; 1; -ln z).

Г(α, z) = e-z Ψ(1 - α; 1 - α; z).

е z = Ф(α; α; z), sin z = e iz z Ф(1; 2; -2iz).

також [1], [2], [3], [8].

Літ.: [1] Бейтмен Р., Ердей А., Вищі трансцендентні функції, [т. 2], пров. з англ., 2 видавництва, М., 1973; [2] Градштейн І. С. Pыжик І. М., Таблиці інтегралів, сум, рядів і творів, 4 видавництва, М., 1963; [3] Handbook of mathematical functions with formulas, graphs and mathematical tables, N. Y., 1964; [4] Уіттекер Е.-Т., Ватсон Д.-Н., Курс сучасного аналізу, ч. 2 – трансцендентні функції, пров. з англ., 2 видавництва, М., 1963; [5] Лебедєв А. Ст, Федорова Р. М., Довідник з математичних таблиць, М., 1956; [6] Бурунова Н. М., Довідник з математичних таблиць, М., 1959; [7] An index of Mathematical tables, 2 ed., v. 1, 2, Oxford, 1962; [8] Лебедєв H. H., Спеціальні функції та їх застосування, 2 видавництва, М.-Л., 1963.

  1. Математична енциклопедія. Т. 1 (А – Г). ред. колегія: І. М. Виноградов (глав ред) [та ін] - М., «Радянська Енциклопедія», 1977, 1152 стб. з ілл.