Візерунки ТАБЛИЦІ ПІФАГОРА, Наука і життя
Н. АВІЛОВ, вчитель математики (ст. Єгорлицька Ростовської області).
Вперше таблиця Піфагора приблизно в тому ж вигляді, в якому її друкують на обкладинках шкільних зошитів, але в іонійській нумерації, з'явилася у творі неопіфагорійця Нікомаха Геразського (I-II ст. н. е..) "Введення в арифметику". За словами Нікомаха, ця таблиця сходить "до самого Піфагора". Ще давніші таблиці множення виявлені на месопотамських глиняних табличках - їх "вік" близько 5 тисяч років.
Таблицю Піфагора можна розширювати вправо і вниз до нескінченності, дотримуючись єдиної умови: кожне число таблиці є добутком номера рядка і номера стовпця, в яких воно стоїть.
Розширені таблиці множення є давно. Так, наприклад, у першій друкованій математичній книзі українською мовою "Рахування зручне, яким кожна людина, яка купує або продає, зело зручно знайти може число всяких речей" (Москва, 1682) є таблиця множення чисел від 1x1 до 100x100. (Її назва наводить І. Я. Депман у своїй книзі "Історія арифметики". - М.: Просвітництво, 1965, с. 190.)
Таблиця множення приховує багато чудових математичних закономірностей, пошук яких здатний перетворитися на захоплююче заняття, що обіцяє чимало сюрпризів.
До вивчення властивостей розширеної таблиці Піфагора можна залучити комп'ютер. Кожне число таблиці зобразимо точкою (або клітиною) координатної площини монітора і відповідно до властивостей чисел забарвимо точки будь-яким кольором. Це реалізується за допомогою шаблону програми, написаної мовою Turbo Basic Version 1.1.
if умова then line (4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2),1,bf
При виконанні програми кожне число p розширеної таблиці Піфагора 120x120, що знаходиться наперетині n-го стовпця і m-го рядка буде зображуватися білою клітиною, а числа, що задовольняють заданій у програмі умові, - синіми.
Так, на рис. 1 (програма 1) синім кольором виділено квадратні числа таблиці Піфагора: 1, 4, 9, 16, …, n 2 ,… , зеленим - трикутні: 1, 3, 6, 10, …, 1 / 2 n ( n +1 ), ... червоним - числа одночасно і квадратні та трикутні: 1, 36, 1225, 41616 і т.д.
Щоб отримати уявлення про те, як у таблиці Піфагора розташовані числа, що дають однакові залишки при розподілі, наприклад на 5, зафарбуємо числа, що дають залишки 0, 1, 2, 3, 4 кожне своїм кольором. Як це не дивно, але таблиця Піфагора виявляється розчленованою на абсолютно однакові за розмальовкою квадрати (рис. 2, програма 2).
Аналогічне розбиття виходить при розподілі чисел таблиці будь-яке інше натуральне число k , у чому легко переконатися, замінивши у програмі число 5 нього.
Завдяки властивості періодичності таблиці Піфагора за залишками на екрані з'являються різноманітні мозаїки. Вочевидь, що більше k , то більше вписувалося залишків r , то більше вписувалося потрібно кольорів. Щоб візерунки не були надто строкатими, обмежимося, наприклад, трьома кольорами. Для цього залишки згрупуємо за модулем 3, тобто першим кольором зафарбуємо числа таблиці із залишками 1, 4, 7, 10. другим - числа із залишками 2, 5, 8, 11. а третім - числа, кратні 3 (рис.3, Програма 3).
Можна розчленувати будь-яку з цих мозаїк на три одноколірні, що доповнюють одна одну до повної мозаїки. Кожна окремо теж становить інтерес (рис.4, програма 4).
Ще один варіант триколірних мозаїк наведено на рис. 5 (програма 5). Тут для більшої симетрії однаковим кольором зафарбовані не тільки числа з однаковим залишком r, а й числа із залишком, що доповнює r до k.
Цікаві мозаїки виникають і тоді, коли фарбують не всі числа, а вибірково. Наприклад, триколірний візерунок на рис. 6 (програма 6).
Мереживний монохромний візерунок (рис.7, програма 7) виникає, якщо у всій таблиці зафарбувати однаковим кольором тільки числа, що дають залишки, порівняні з тим самим натуральним числом.
А якщо в програму включити генератор випадкових чисел для визначення розмірів квадратів k , що лежать у періоді номерів розширеної таблиці Піфагора і номерів кольору c , то за допомогою комп'ютера таблиця перетвориться на своєрідний калейдоскоп дивовижних і неповторних візерунків (рис. 8, програма 8).
На рис. 9 (програма 9) показано, як у таблиці Піфагора 32x32 чергуються числа непарних та парних сотень. Тут кожне число зображене клітиною синього чи зеленого кольору. Причому числа першої, третьої, п'ятої тощо сотні зафарбовані синім, а числа другої, четвертої, шостої тощо. - Зеленим. Зрозуміло, що якщо добуток n x m постійно, то між числами існує зворотна пропорційність, тому сині і зелені смуги, що чергуються, мають гіперболічну форму.
Зі збільшенням твору n x m ширина смуг зменшується, а потім смуги зовсім розриваються і розпадаються на одноколірні острівці, які групуються з острівцями того ж кольору, але з іншої сотні, утворюючи симетричні форми (рис. 10, програма 10). Тут кожне число таблиці 480×480 зображено точкою-пікселем. Загадковим чином таблиця Піфагора несподівано перетворюється на періодичну структуру. Цікаво, чим це можна пояснити?
Якщо ви уважно і терпляче візьметеся до вивчення властивостей таблиці Піфагора, то, безсумнівно, знайдете нові, не менш красиві візерунки на основі цієї стародавньої числової схеми.
1 . "Квадратні та трикутні числа"
line(4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2), 15,bf
if p=q then line (4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2),9,bf