Властивість протилежних сторін та кутів паралелограма, найбільший портал з навчання
Теорема 6.3.У паралелограма протилежні сторони рівні, протилежні кути рівні.
Доведення. Нехай ABCD — це паралелограм (рис. 122). Проведемо діагоналі паралелограма. Нехай О — точка їхнього перетину.
Рівність протилежних сторін АВ та CD випливає з рівності трикутників АОВ та COD. Вони кути при вершині О рівні як вертикальні, а ОА = ОС і OB—OD за якістю діагоналей паралелограмма. Так само з рівності трикутників AOD і СОВ випливає рівність іншої пари протилежних сторін - AD і ВС.
Рівність протилежних кутів ABC і CDA випливає з рівності трикутників ABC і CD А (з трьох сторін). Вони AB=CD і BC=DA за доведеним, а сторона АС загальна. Так само рівність протилежних кутів BCD і DAB випливає з рівності трикутників BCD і DAB. Теорему доведено повністю.
Завдання (18). Доведіть, що якщо у чотирикутника дві сторони паралельні та рівні, то він є паралелограмом.
Рішення. Нехай ABCD — це чотирикутник, у якого сторони АВ і CD паралельні і рівні (рис. 123). Проведемо через вершину пряму b, паралельну стороні AD. Ця пряма перетинає промінь DC у певній точці С1. Чотирьохкутник ABC1D є паралелограм. Оскільки паралелограма протилежні сторони рівні, то C1D=AB. А за умовою АВ = CD. Отже, DC = DC1. Звідси випливає, що точки C і C1 збігаються.
Таким чином, чотирикутник ABCD збігається з паралелограмом ABC1D, отже є паралелограмом.
А. В. Погорєлов, Геометрія для 7-11 класів, Підручник для загальноосвітніх установ