Внутрішні силові фактори при згинанні

11. Що являють собою осьовий та полярний моменти опору перерізу?

4.1. Загальні відомості

Згиномназивається такий вид деформації, при якому при дії зовнішніх сил у поперечних перерізах балки виникаєзгинальний момент.Якщо згинальний момент у перерізі є єдиним силовим фактором, вигин називаєтьсячистим>. Якщо в поперечних перерізах стрижня поряд з згинальним моментом діє і поперечна сила, вигин називаєтьсяпоперечним.

Якщо площина дії згинального моменту, іменованасиловою площиною, проходить через одну з головних центральних осей поперечного перерізу балки, то вигин називаютьплоськимабопростим.

Балки є елементами конструкцій, що найчастіше зустрічаються, сприймають навантаження від інших елементів і передають їх опорам.

4.2. Внутрішні силові фактори при згинанні

На першому етапі аналізу основна мета полягає у визначенні та побудовіепюр(графіків) внутрішніх силових факторів (при плоскому вигині -Qy, Мх) у поперечних перерізах уздовж осі балки для подальшого вибору найбільш небезпечного у міцнісному відношенні перерізу.

Внутрішні силові чинники, які у поперечних перерізах балки, визначають (після знаходження реакцій опор), використовуючи метод перерізів, навіщо подумки розтинають балку на частини і розглядають рівновагу однієї з них. Взаємодія її з іншою частиною балки замінюють внутрішніми силовими факторами:поперечною силоюQyізгинальним моментомMx.

Поперечна силау перерізі балки дорівнює алгебраїчній сумі проекцій усіх зовнішніх сил, що діють на подумки відтяту частину, на вісь, перпендикулярну осі балки.

Згинальниймоментв перерізі балки дорівнює сумі алгебри моментів зовнішніх сил, що діють на відсічену частину, взятих щодо центру тяжкості перетину.

Знаки дії сил та моментів визначають з використанням «правила знаків» (рис. 17).

1. Якщо сума зовнішніх сил, що лежать ліворуч від перерізуm−n, дає рівнодіючу, спрямовану вгору, то поперечна сила в перерізі вважаєтьсяпозитивною, вниз –негативною.

Якщо сума зовнішніх сил, що лежать праворуч від перерізуm−n, дає рівнодіючу, спрямовану вниз, то поперечна сила в перерізіпозитивна, вгору -негативна( (рис. 17а).

2. Якщо щодо вибраного перерізуm−nзгинальний момент прагне вигнути балку так, що стислі волокна зверху, то момент від цього силового факторапозитивний, інакше –негативний(рис. 17б).

Проілюструємо визначення поперечної сили та згинального моменту на прикладі двоопорної балки з вантажемG,розрахункова модель (схема) якої показана нарис. 18а. До такої моделі (розрахункової схеми) зводиться розрахунок конструкцій прольотів мостів, валів та осей машин, верстатів тощо.

Конструктивно шарнірно-нерухома опораАне перешкоджає повороту балки навколо осі шарніра, але не дає можливості балці переміщатися вздовж осіzі в перпендикулярному напрямку - уздовж осіy.

Дія опори замінюється реакцієюFA, напрямок якої наперед невідомий. Її розкладають за напрямками осейyіz: і .

Шарнірно-рухлива опораВне перешкоджає вільному повороту балки навколо осі шарніра і вільному поступальному переміщенню вздовж осіz.Тому вплив опориВзамінюється однією вертикальною реакцією. Вплив вантажуGмоделюється зосередженою силоюFу точціС(рис. 18б).

Опорні реакції (,,) при плоскому вигині визначають, становлячи три рівняння рівноваги статики, які в опорі матеріалів прийнято записувати в наступній формі:

– сума проекцій усіх сил на вісь балки (вісьz) дорівнює нулю, у нашому випадку це рівняння набуде вигляду:

звідки

– сума моментів усіх сил щодо опориАдорівнює нулю:

,

звідки;

– сума моментів усіх сил щодо опори дорівнює нулю:

,

звідки.

1. Вибір опорАіВза центри приведення пояснюється тим, що через опори проходять лінії дії невідомих реакцій іі рівняння виходять простіше за видом.

2. У рівняннях моментів умовно прийнято, що момент сили, що намагається повернути балку щодо вибраного центру проти годинникової стрілки, є позитивним, а за годинниковою стрілкою – негативним.

3. Для перевірки отриманих результатів рекомендується використовувати рівняння – сума проекцій усіх сил на вертикальну вісьудорівнює нулю:

,

підставляючи в яке отримані вирази для і,отримуємо тотожну рівність:

.

Розіб'ємо балку на дві ділянки, що визначаються точкамиА,СіВдокладання сил (рис. 18б). Проведемо довільний перетинI-Iна першій ділянці на відстаніz1від опориА (). Застосуємо метод РОЗУ. Дія відкинутої (правої) частини на частину, що залишилася (ліву), замінимо силовими факторамиі(рис. 18в). З умови рівноваги решти (лівої) частини отримуємо:

- Поперечна силаQyу перерізіI−Iдорівнює сумі проекцій усіх зовнішніх сил (активних і реактивних), прикладених до частини балки, що залишилася:

=.

У разі поперечна сила по всьому ділянці постійна;

– згинальний момент у перерізіI−Iдорівнює сумі моментів всіх зовнішніх сил, прикладених до частини балки, що залишилася, щодо точкиО1обраного перерізу: .

В даному випадку згинальний момент лінійно залежить відz.

Використовуючи правило знаків, встановлюємо, що на першій ділянці поперечна сила та згинальний момент позитивні.

Приz1= 0: ;

.

Для визначення внутрішніх силових факторів у перерізіII-IIможна розглядати ліву або праву частини (рис. 18г).

При розгляді лівої частини відлікzможна вести від точкиС, тобто з кінця першої ділянки (). Тоді поперечна сила і згинальний момент у цьому перерізі відповідно дорівнюють:

;

---