Загадки додекаедра 60, kniganews
id Борис «Книга новин»
Американський астроном Карл Саган (1934-1996) залишився у пам'яті людей як вчений з цікавими і глибокими ідеями, а й – у першу чергу – як видатний популяризатор науки. Багато сотень статей, понад десяток книг, знаменитий цикл телепередач про космос – навряд чи хтось міг зрівнятися з Саганом за яскравістю оповідань про космічні дослідження, позаземні світи та пошуки інопланетних цивілізацій.
Своєрідним заповітом вченого став фантастичний фільм «Контакт» режисера Роберта Земекіса, який вийшов через кілька місяців після його смерті. Картина було знято за однойменним романом Карла Сагана і присвячена темі, що надихала астронома все життя – першої осмисленої зустрічі людства з позаземним розумом.[1]
За задумом Сагана, як пристрій для зв'язку з інопланетянами в «Контакті» виступає гігантська Машина, побудована людьми за кресленнями, отриманими в радіосигналах з космосу. Всередину цієї Машини поміщається капсула з посланницею людства (головну роль у фільмі виконує Джоді Фостер), а форма капсули в поєднанні з гігантськими зовнішніми кільцями, що швидко обертаються, машини забезпечують згортання простору і утворення просторово-часових тунелів (кротових нор). з одного кінця галактики до іншого.
Капсула із фільму «Контакт»
Має сенс звернути увагу на форму капсули - сфера, вміщена всередину правильного багатогранника-додекаедра. Звідки з'явилася саме така форма конструкції, історія замовчує. Однак є безліч доказів на користь того, що цей вибір був явно невипадковим.
Почати доведеться здалеку. Є, наприклад, досить стара таємниця, надякої досі безуспішно ламають голову археологи та історики. У багатьох країнах Західної та Центральної Європи при розкопках поселень епохи Римської імперії (I-IV століття н.е.) іноді знаходять порівняно невеликі, від 4 до 10 сантиметрів у поперечнику, порожнисті предмети, виготовлені з бронзи або каменю. Кожен такий предмет має форму геометрично правильного багатогранника додекаедра - 12 рівних п'ятикутних сторін, у центрі кожної з яких є по одному круглому отвору, що веде в порожнисту серцевину. На кожній із граней зазвичай нанесені борозни-коло - концентричними колами навколо центрального отвору. Кожна з 20 вершин додекаедра увінчана маленьким набалдашником у формі кульки.
До початку XXI століття в розкопках виявлено вже близько сотні цих незвичайних штучок, переважно в Німеччині та Франції, але також в інших країнах – Великій Британії, Голландії, Швейцарії, Австрії, Угорщині – на територіях, що колись входили до складу північних провінцій Римської імперії . Ніхто не знає, яким було призначення цих предметів. Гіпотези і припущення висуваються різні - чи то свічники, чи незвичайні гральні кістки, а може, дитячі іграшки або якісь хитромудрі інструменти для спостережень. Всі ці припущення, втім, абсолютно нічим підкріпити, оскільки загадкові додекаедри ні словом не згадані в писемних джерелах і не зустрічаються на жодному з зображень того часу.
Є, щоправда, одна дуже правдоподібна гіпотеза, згідно з якою ці предмети ставляться не стільки до римських завойовників, скільки до культури місцевих племен і народів, які здавна населяли перелічені території. Цілком можливо, що є якийсь прямий зв'язок між додекаедрами римського періоду і безліччю набагато давнішихкам'яних куль з вирізаними по поверхні правильними багатогранниками. Такі кулі-багатогранники, датовані періодом між 2500 і 1500 роками е., знаходять у Шотландії, Ірландії та північної Англии.[3]
Приблизно до цього часу, 3000-2000 гг. е., прийнято відносити зведення знаменитого мегалітичного комплексу Стоунхендж в Англії. Ніхто досі не знає напевно, яким було призначення цієї вражаючої споруди. Однак явно невипадкове розташування гігантських каменів, прив'язане до циклів руху сонця небом, дає підстави вважати, що Стоунхендж служив як для релігійно-ритуальних обрядів (найбільш ймовірне призначення), а й у астрономічних спостережень. І – хто знає – можливо, і маленькі кам'яні кулі-багатогранники грали для давніх мешканців Британії роль «домашніх Стоунхенджів», уособлюючи якісь важливі для них духовні ідеї та таємниці світоустрою.
Про що ж можна говорити напевно, так це про важливу роль правильних багатогранників, і додекаедра зокрема, у картинах світобудови, створених у Стародавній Греції школою піфагорійців. Трохи згодом ці ідеї були ретельно розвинені у текстах Платона (427-347 д.н.е.). Так, у пізньому платонівському діалозі «Тімей» чотири головні елементи матерії – вогонь, повітря, вода та земля – представлені у вигляді скупчень крихітних частинок у формі правильних багатогранників: тетраедра, октаедра, ікосаедра та куба. (Цікаво відзначити, наскільки ця схема співзвучна сучасній фізичній концепції про 4 агрегатні стани речовини – плазма, газ, рідина та тверде тіло). Що ж до п'ятого правильного багатогранника, додекаедра, його Платон згадує якось побіжно, зазначивши лише, що ця форма використовувалася «для зразка» для створення всесвіту, має досконалу формусфери.
Дослідники давньогрецької філософії припускають, що тут Платон, ймовірно, розмірковував на кшталт ранньої традиції, що йде до Піфагору. У піфагорійській школі відома ідея, згідно з якою додекаедр утворював «балки», на яких було зведено склепіння небес. Також доречно зазначити, що в більш ранньому діалозі «Федон» Платоном вкладено в уста Сократа такий (12-гранний додекаедричний) опис небесної, більш досконалої землі, що існує над землею людей: «Розповідають, що та Земля, якщо глянути на неї зверху, схожа на м'яч, пошитий із дванадцяти шматків шкіри».
Під очевидним впливом ідей Платона, у наступні століття філософи та вчені стали припускати, що небеса зроблені з п'ятого елемента «ефіру» чи «квінтесенції». Цю традицію можна побачити в ілюстраціях до роботи Йоганна Кеплера Mysterium Cosmographicum, виданої в 1596, де космос зображений у формі додекаедра.
Космос по Кеплеру
Настала після Кеплера епоха великих наукових відкриттів поступово принесла нові знання про навколишній світ, включаючи і молекулярний пристрій матерії. Що ж до наївних платонових ідей про особливу роль правильних багатогранників у світоустрої, то наприкінці XIX століття ставлення до них стало приблизно таке саме, як до стародавньої міфології – місцями кумедно, проте для фізичної науки абсолютно марно.
Подальший розвиток наукових знань, втім, досить швидко повернуло платонові тіла у фокус глибоких та зацікавлених досліджень [4] – у зв'язку з їхньою помітною роллю в теорії симетрій, важливою для квантової теорії та фізики частинок. А 12-гранний додекаедр, що складається з п'ятикутників, при цьому знову залишився дещо осторонь – але, як і раніше, з деяким невиразним натяком на ставлення до формисвітобудови.
Спочатку це сталося на рубежі XIX-XX століть, коли великий математик Анрі Пуанкаре зайнявся дослідженням можливих форм для всесвіту, що представляється у вигляді замкнутого тривимірного простору. Спростовуючи одну зі своїх гіпотез, Пуанкаре зумів уявити теоретично несуперечливу конструкцію з надзвичайно цікавими топологічними властивостями – так звану багатозв'язну сферу гомологій.
А ще через чверть століття, вже після смерті Пуанкаре, два інших математика, Вебер і Зейферт, довели, що абстрактну сферу гомологій Пуанкаре можна отримати з цілком конкретного об'єкта – якщо «склеїти» один з одним протилежні грані додекаедра. У 3-мірному просторі це, звичайно, неможливо, однак у 4-мірному – цілком (як, наприклад, двовимірну смужку паперу в 3-мірному світі склеюють кінцями в нескінченну односторонню стрічку Мебіуса). Таким чином у науці топології виник об'єкт під назвою «додекаедричний простір Пуанкаре» – чотиривимірне платонове тіло зі 120 додекаедричними гранями.[5]
Додекаедричний простір Пуанкаре
А потім на рубежі XX-XXI століть було зроблено ще одне важливе відкриття, цього разу в галузі експериментальної астрофізики. Результати спостережень, які багато місяців ретельно накопичувалися космічним супутником WMAP, опинилися в суперечності із загальноприйнятою космологічною моделлю. Проте ці дані свідчили на користь того, що всесвіт може мати форму додекаедричного простору Пуанкаре. Або, як висловлювався свого часу Платон, «схожа на м'яч, пошитий із дванадцяти шматків шкіри».[6]
[1] Carl Sagan, "Contact". Simon and Schuster, 1985
[2] Benno Artmann, "Roman Dodecahedra", Mathematical Intelligencer, Vol. 15, pp. 52-53, 1993.
[3]Dorothy N. Marshall, "Carved Stone Balls," Процедури громадськості з Antiquaries of Scotland 180, pp. 40-72, 1976/77
[4] Michael Atiyah і Paul Sutcliffe, «Полігедра в фізиках, хімічній та geometry», arXiv: math-ph/0303071, Milan Journal of Mathematics (2003)
[5] Jeffrey Weeks, The Poincaré Dodecahedral Space and Mystery of Missing Fluctuations, Notices Of The AMS, Volume 51, Number 6 (2004)
[6] Jean-Pierre Luminet, "A cosmic hall of mirrors", Physics World, September 2005