Загальна схема побудови моделі

Схема влаштована так, що передбачає не один ітераційний цикл процесу моделювання: після i-го кроку, що призвів до появи j-ої версії моделі, здійснюється чергова перевірка на адекватність, після якої відбувається як корекція та модернізація модельної версії, так і виникають завдання на додаткові соціологічні дослідження, щось уточнюють як і модельної концепції, і у самих етапах-процедурах моделювання. Так відбувається доти, доки модель не почне видавати корисні результати.

Ви вже напевно помітили, наскільки зручна і зрозуміла мова схем. Абстрагування та узагальнений його розвиток отримало в теорії графів – математичній мові, як показав досвід, що найбільш просто і швидко освоюється гуманітаріями. Звичайно почати освоювати мови моделювання саме з нього.

2. Перевага мови теоретико-графових моделей

Як було сформульовано в розділі «Властивості моделей живих систем», однією з їх специфічних властивостей єбагатомірність. На жаль, і зараз робота математика з розмірністю вище 3-х перетворюється на «прокляття розмірностей». Проте є галузь математики, у якій існує (щоправда, певною ціною, але … «чудес немає») можливість долати «прокляття розмірностей». Цією гілкою є теорія графів, а ключовою теоремою у цій проблемі є теорема про можливість представлення графа, побудованого в будь-якому n-мірному просторі, у 3-мірному просторі.

Теорема : Будь-який кінцевий граф, побудований у багатовимірному просторі з числом вимірювань більше 3-х, може бути однозначно відображений на граф в 3-х мірному просторі.

Доказ.

Нехай у просторі N –вимірів є багатовимірний кінцевий граф, тобто. з кінцевим числом n-вершин і кінцевою множиною m ребер. Виберемо в 3-мірному просторі якусь пряму, наприклад, що збігається з віссю Z у трьох мірній декартовій системі координат. Оскільки число вершин звичайно, то зіставимо кожної з n вершин багатовимірного графа одну і лише одну точку обраної прямої. Таким чином, їх також виявиться n штук.

Кожне ребро багатовимірного графа з'єднує одну і одну пару його вершин.

Будемо робити таким чином, перебираючи всі можливі пари вершин багатовимірного графа: як тільки виявляється, що якась пара його вершин з'єднана рубом, то через відповідну їм пару точок на прямій, що збігається з віссю Z в 3-х просторі, буде проводитися одна і тільки одна, що не збігається з іншими, площина. Оскільки в силу кінцівки графа число ребер його звичайно, то й відповідних площин також буде кінцеве безліч.

Образно кажучи, багатовимірному графу з n вершин і m ребер буде зіставлена книга з m сторінок і n букв на «книжковому корінці» в 3-х. мірному просторі.

Теорія графів має найнесподіваніше застосування, досить назвати вибір оптимальних маршрутів і потоків у мережах, моделювання життєдіяльності організмів, дослідження випадкових процесів та багато інших завдань. Теорія графів тісно пов'язана з такими розділами математики, як теорія множин, теорія матриць, математична логіка та теорія ймовірностей. У всіх цих розділах графи застосовують уявлення різних математичних об'єктів, й те водночас сама теорія графів широко використовує апарат родинних розділів математики.

Орієнтовані графи. Часто зв'язки між об'єктами характеризуються цілком певною орієнтацією.Наприклад, на деяких вулицях допускається лише односторонній автомобільний рух, відносини між людьми можуть визначатися підпорядкованістю чи старшинством. Орієнтовані зв'язки характеризують перехід системи з одного стану до іншого, результати зустрічей між командами у спортивних змаганнях, різні відносини між числами (нерівність, подільність). Для зазначення напряму зв'язку між вершинами графа відповідне ребро відзначається стрілкою. Орієнтоване таким чином ребро називаютьдугою,а граф з орієнтованими ребрами -орієнтованим графом.

Зважені графи. Подальше узагальнення відображення зв'язків між об'єктами за допомогою графів полягає у приписуванні ребрам і дугам деяких кількісних значень, якісних ознак або характерних властивостей, званихвагами.У найпростішому випадку це може бути порядковим. нумерація ребер та дуг, що вказує на черговість при їх розгляді (пріоритет чи ієрархія). Вага ребра чи дуги може означати довжину (шляхи сполучення), кількість набраних очок (турніри), характер відносин для людей (син, брат, батько, підлеглий, вчитель) тощо. Вагу можна приписувати не тільки ребрам та дугам, а й вершинам. Наприклад, вершини, що відповідають населеним пунктам на карті автомобільних доріг, можуть характеризуватись кількістю місць у кемпінгах, пропускною спроможністю станцій техобслуговування. Взагалі, вага вершини означає будь-яку характеристику відповідного об'єкта (колір зображуваного вершиною предмета, вік людини і т. п.).

Типи кінцевих графів. Якщо безліч вершин графа звичайно, то він називаєтьсякінцевим графом.Для орієнтованого ребра (дуги) розрізняютьпочаткову вершину,з якої дуга виходить, ікінцевувершину, в яку дуга заходить. Ребро, граничними вершинами якого є та сама вершина, називаєтьсяпетлей.Ребра з однаковими граничними вершинами є паралельними і називаютьсякратними.У загальному випадку граф може містити іізольовані вершини ,які є кінцями ребер і пов'язані між собою. ні з іншими вершинами.

Маршрути. Нерідко завдання на графах вимагають виділення різних маршрутів, що мають певні властивості та характеристики.Маршрутдовжинитвизначається як послідовністьтребер графа (не обов'язково різних) таких, що граничні вершини двох сусідніх ребер збігаються.Замкнений маршрутприводить у ту саму вершину, з якої він почався. Маршрут, всі ребра якого різні, називаєтьсяланцюгом,а маршрут, для якого різні всі вершини, називаєтьсяпростим ланцюгом.Замкнений ланцюг називаєтьсяциклом,а простий ланцюг —простим циклом.Маршрут, що не містить повторюваних дуг, називаєтьсяшляхом,а не містить повторюваних вершин, -простим шляхом.Замкнений шлях називаєтьсяконтуром,14> а простий замкнутий шлях -простим контуром.Граф називаєтьсяциклічним (контурним),якщо він містить хоча б один цикл (контур).

Дерева і ліс. тобто. мінімальна кількість ребер, необхідне для того, щоб граф був зв'язковим. Дійсно, дві вершини зв'язуються одним рубом

Дерево

і для зв'язку кожної наступноївершини з попередніми потрібно ребро, отже, для зв'язкурвершин необхідно і достатньор-1ребер. При додаванні в дерево ребра утворюється цикл, апри видаленні хоча б одного ребра дерево розпадається на компоненти, кожна з якої являє собою дерево або ізольовану вершину. (Незв'язний граф, компоненти якого є деревами, називається лесом.

Прикладами деревоподібної структури є генеалогічний граф (родовід дерево), і навіть сукупність всіх файлів, розміщених на жорсткому диску комп'ютера чи дискеті. Кожен логічний диск має каталог, який називається головним або кореневим. Він має зміст, подібне до змісту книги. У змісті кореневого каталогу перераховано вміст диска: імена файлів цього каталогу та інших каталогів, вкладених у нього.