Закон Біо - Савара
Закон Біо-Савара-Лапласа- фізичний закон для визначення вектора індукції магнітного поля, що породжується постійним електричним струмом. Був встановлений експериментально в 1820 Біо і Саваром і сформульований в загальному вигляді Лапласом. Лаплас показав також, що за допомогою цього закону можна обчислити магнітне поле точкового заряду, що рухається (вважаючи рух однієї зарядженої частинки струмом).
У сучасному формулюванні закон Био-Савара-Лапласа найчастіше розглядають як наслідок двох рівнянь Максвелла для магнітного поля за умови сталості електричного поля, тобто. в сучасному формулюванні рівняння Максвелла виступають як фундаментальніші (передусім хоча б тому, що формулу Біо-Савара-Лапласа не можна просто узагальнити на загальний випадок полів, що залежать від часу).
Для струму поточного за контуром (тонкого провідника)
Нехай постійний струм тече за контуром (провідником), що знаходиться у вакуумі, — точка, в якій шукається (спостерігається) поле, тоді індукція магнітного поля в цій точці виражається інтегралом (у Міжнародній системі одиниць (СІ)
де квадратними дужками позначено векторний добуток,r- положення точок контуру,dr- вектор елемента контуру, вздовж якого йде провідник (струм тече вздовж нього); - Константа (магнітна постійна); - Поодинокий вектор, спрямований від джерела до точки спостереження.
У принципі контур може мати розгалуження, являючи собою як завгодно складну мережу. У такому разі під виразом, наведеним вище, слід розуміти суму по всіх гілках, доданок для кожної гілки є інтегралом наведеного вище виду (контур інтегрування для кожної гілки може бути при цьому незамкненим).
У разі простого(не гілкуючого) контуру (і при виконанні умов магнітостатичного наближення, що мають на увазі відсутність накопичення зарядів), струмIоднак на всіх ділянках контуру і може бути винесений за знак інтеграла. (Це справедливо окремо і для кожної нерозгалуженої ділянки розгалуженого ланцюга).
Якщо взяти за точку відліку точку, в якій потрібно знайти вектор магнітної індукції, то формула трохи спрощується:
де - Вектор описує криву провідника зі струмом, - модуль, - Вектор магнітної індукції, створюваний елементом провідника.
Напрямок перпендикулярний площині, в якій лежать вектори і . Напрямок вектора магнітної індукції може бути знайдено за правилом правого гвинта: напрямок обертання головки гвинта дає напрямок, якщо поступальний рух буравчика відповідає напрямку струму в елементі. Модуль вектора визначається виразом (у системі СІ)
Векторний потенціал надається інтегралом (у системі СІ)
Для розподілених струмів
Для випадку, коли джерелом магнітного поля є розподілені струми, що характеризуються полем вектора щільності струмуj, формула закону Біо - Савара набуває вигляду (у системі СІ):
деj=j(r),dV - елемент обсягу, а інтегрування здійснюється по всьому простору (або по всіх його областях , деj≠0),r- відповідає поточній точці при інтегруванні (положення елементаdV).
Слідства
Хоча у сучасному підході, зазвичай, сам закон Біо-Савара виступає наслідком рівнянь Максвелла, проте історично його відкриття передувало рівнянням Максвелла, тому рівняння Максвелла для випадку магнітостатики можна як слідства закону Біо-Савара. З чисто формальноюточки зору у разі магнітостатики обидва підходи вважатимуться рівноправними, тобто. у цьому сенсі те, що з них вважати вихідними положеннями, а що наслідками, залежить від вибору аксіоматизації, який у разі магнітостатики може бути тим чи іншим із рівним формальним правом та практично рівним зручністю.
Основними наслідками закону Біо-Савара є (у зазначеному вище сенсі) рівняння Максвелла для випадку магнітостатики, що в інтегральній формі мають вигляд
-варіант теореми Гауса для магнітного поля (це рівняння залишається в електродинаміці незмінним і для загального випадку)
Диференціальна форма цих рівнянь:
деj- щільність струму (запис у системі СІ, в гаусової системі одиниць константа замість набуває вигляду).
Магнітне поле прямого струму– струму, що тече по тонкому прямому дроту нескінченної довжини. У довільній точці А, віддаленої від осі провідника на відстаньR, векториdBвід усіх елементів струму мають однаковий напрямок, перпендикулярне до площини креслення («до нас») . Тому додавання векторівdBможна замінити додаванням їх модулів. В якості постійної інтегрування виберемо кут a (кут між векторамиdlіr), виразивши через нього всі інші величини. З рис.1.2 випливає, що
, (1.6)
(радіус дуги CD внаслідок дещиціdlдорівнюєr, і кут FDC з цієї причини можна вважати прямим). Підставивши ці вирази (1.5), отримаємо, що магнітна індукція, створювана одним елементом провідника, дорівнює:
.
Так як кутαдля всіх елементів прямого струму змінюється в межах від 0 до p, то згідно (1.4) і (1.6),
.
Отже, магнітна індукція поля прямого струму
.
Магнітне поле в центрі кругового провідниказі струмом (рис. 1.3).
Як випливає з малюнка, всі елементи кругового провідника зі струмом утворюють у центрі магнітні поля однакового напрямку – вздовж нормалі від витка. Тому додавання векторівdBможна замінити додаванням їх модулів. Оскільки всі елементи провідника перпендикулярні радіусу-вектору (sina = 1) і відстань всіх елементів провідника до центру кругового струму однакова і дорівнюєR, то
.
Отже, магнітна індукція поля в центрі кругового провідника зі струмом: