Застосування дельта-функції Дірака та ступінчастої функції для опису розподілу об’ємної

Об'ємні густини заряду та струму для випадків типу розподілу зарядів по поверхні, лінії та інших обмежених областей записуються у вигляді скалярної та векторної функцій, визначених у всьому тривимірному просторі. Властивості дельта-функції та ступінчастої функції та їх застосування дано у задачнику [1]. Бажано вирішувати завдання 80,81,88 та опрацювати додатки про властивості зазначених узагальнених функцій у [1].

Розберемо докладно розв'язання двох завдань із [1].

149 г): У площиніхупо нескінченно тонкому кільцю радіусаRтече лінійний струмJ, утворюючи правовинтову систему з віссюz, яка проходить через центр кільця. Використовуючи дельта-функцію Дірака, визначити розподіл об'ємної щільності струму .

Рішення:Деяке значення азимутального кута визначає площину. Відповідно до визначення поняття сили струму маємо нормувальну умову для об'ємної щільності струму, що шукається:

(9.1)

Щільність струму відмінна від нуля при наступних значеннях циліндричних координат:

(9.2)

Тому вектор об'ємної густини струму потрібно шукати у вигляді:

(9.3)

А- нормувальний множник.

В силу того, що

(9.4)

(9.5)

149 д): Знайти якщо рівномірно заряджена з поверхневою щільністю поверхня кругового конуса з вершиною на початку координат обертається навколо свого діаметра з кутовою швидкістю , спрямованої вздовж осіz.

Рішення: Відомо, що

(9.6)

(9.7)

Тому спочатку знайдемо розподіл об'ємної щільності заряду. Очевидно, що у сферичній системі координат

(9.8)

(9.9)

Нормуючий множникАзнайдемо з умови:

(9.10)

Обчисливши об'ємний інтеграл у цій формулі по всьому тривимірному простору отримаємо, що

(9.11)

Знайдемо результат векторного твору (9.7) у сферичній системі координат.

(*)

(**)

Легко бачити, що

(9.12)

(9.13)

З огляду на взаємної ортогональності базисних ортів сферичної системи координат їм має місце така таблиця векторних произведений:

(9.14)

(9.15)

(9.16)

Закон Біо-Савару

Розподіли об'ємних густин струму, типу отриманих вище формул, дозволяють зводити до квадратур задачу визначення компонент вектора напруженості магнітного поля на основі закону Біо-Савару:

(10.1)

Знайти напруженість магнітного поля у вакуумі, створюване струмом, силиI, що тече по прямому тонкому дроту нескінченної довжини.

Рішення:Вісьzциліндричної системи координат сумісний з проводом.

Використовуючи нормувальну умову

(10.2)

і очевидне співвідношення

(10.3)

(10.4)

Розглянемо точкуРз координатами. Обчислимо, створюване ділянкою.

Граничний перехід дасть поле нескінченного дроту, яке має осьову симетрію щодо обертань (навколо осіz) і трансляційну симетрію для зрушень по осіz.

Радіус-вектор положення елемента об'єму в інтегралі (10.1) пробігає весь тривимірний простір:

(10.5)

Точка спостереженняРвизначається радіус-вектором:

(10.6)

Звідси слідує що

(10.7)

(10.8)

Таблиця векторних творів базисних ортівциліндричної системи координат має вигляд:

(10.9)

(10.10)

Підставимо всі отримані результати у формулу (10.1) та отримуємо

(*)

(10.11)

(10.12)

Теорія потенціалу

11.1 Метод приватного інтегрування

11.1.1. Подання невизначеного інтеграла як зворотного оператора для диференціювання функції

Будь-якій відомій функції від одного змінного можна зіставити її похідну, рівну межі

. (11.1)

Значення похідної є новою функцією, яку позначимо так

(11.2)

Можна сформулювати обернену задачу: за заданою функцією знайти таку функцію, яка задовольняє рівняння (11.2). Остання функція в математичному аналізі називається первісної вихідної функції. Помножуючи рівняння (11.2) на диференціал аргументу отримаємо еквівалентну форму цього диференціального рівняння як рівність нескінченно малих величин першого порядку

(11.3)

Введемо оператор інтеграла як зворотний до диференціала дію на функцію

(11.4)

Можна написати символічне рівняння для взаємно зворотних та перестановочних операторів інтегрування та диференціювання

(11.5)

Помножуючи (11.3) на оператор інтегрування отримуємо співвідношення

(11.6)

Останнє доданок, рівне довільної постійної, при диференціювання цього співвідношення зникає. Воно відоме як константа інтегрування. Підстановка (11.6) перетворює (11.3) на тотожність і тому є загальним рішенням диференціального рівняння (11.3). Тут "диференціальним" називаємо рівняння, що містить символи диференціювання невідомої функції. Покажемо, що (11.6) задовольняє рівняння (11.2)

(11.7)

Звідси випливає, що оператор повної похідної та невизначений інтеграл від функції взаємно зворотні

(11.8)

Символічні обчислення дозволяє довести перестановочність цих двох операцій

(11.9)

1. Алексєєв А.М. Збірник завдань із класичної електродинаміки. М.: Наука, 1977.

---