Застосування пакету Mathematica для математичних обчислень»

Випускна робота з

«Основ інформаційних технологій»

Магістрант кафедри чисельних методів

та програмування ММФ БДУ

Дідков Данило Юрійович

Доктор фізико-математичних наук,

професор Монастирний Петро Ілліч

Старший викладач Кожич Павло Павлович

Зміст

Список позначень до всієї випускної роботи

ДУ Диференціальні рівняння

ІТ Інформаційні технології

ОДУ Звичайні диференціальні рівняння

Реферат на тему "Застосування пакету Mathematica для математичних обчислень"

Сьогодні комп'ютери беруть він величезну частку обчислювальної і аналітичної навантаження сучасного математика. Тому перед сьогоднішніми дослідниками стоять і, головне, видаються вирішеними зовсім інші завдання, ніж півстоліття тому.

Завдяки величезній потужності комп'ютерів стає можливим моделювання та вивчення складних та динамічних систем, що виникають при вивченні космосу, пошуку нових джерел енергії, створенні нових технічних винаходів та багатьох інших проблем, що стосуються сфери науково-технічного прогресу. Вирішення будь-якого завдання подібного роду можна звести до виконання наступної сукупності дій:

математичне моделювання системи;
побудова обчислювального алгоритму;
збір та аналіз отриманих результатів.

Використання комп'ютерних математичних пакетів дозволяє:

розширити спектр реальних додатків;
для наочного аналізу будувати графіки складних функцій та поверхонь, за допомогою яких, наприклад, оцінюються рішення ОДУ, щосуттєво полегшує їх аналіз;
поєднувати професійну спрямованість, науковість, системність, наочність, інтерактивність, міжпредметні зв'язки під час вирішення ОДУ;
миттєво обмінюватися інформацією з людиною, фізичний контакт з якою неможливий, або важко здійснити;
розглядати більше завдань завдяки скороченню кількості рутинних перетворень;
досліджувати складніші моделі, оскільки громіздкі обчислення можна здійснити за допомогою відповідних комп'ютерних систем;
приділяти більше уваги якісним аспектам свого завдання.

Цей реферат присвячений використанню інформаційних технологій для математичних обчислень на прикладі пакета Mathematica версії 5.0. Як приклад для ілюстрації вибрано програмування чисельного рішення ДК 2-го порядку методом Рунге-Кутта та Нюстрема в даному пакеті та порівняння отриманих результатів з аналітичним рішенням, який будує Mathematica.

Розділ 1. Огляд літератури

Основним літературним джерелом вивчення функціональних можливостей пакета Mathematica, як не дивно, є вбудована довідкова система. Вона широка за змістом, наочна, оскільки у ній демонструються безліч прикладів ефективного використання пакета і зручна, оскільки забезпечує користувачеві зручний пошук та інтеграцію з поточними робочими завданнями. Однак зробити вивчення самостійно, що, природно, можливо лише при знанні однієї з мов локалізації пакета досить складно, не представляючи всієї тієї повної гами функцій та завдань, з якими може впоратися пакет.

Коли користувач вирішує почати використання пакета, йому потрібні набір мінімальних, загальних знань про те, як користуватися пакетами, як вводити дані, як отримуватирезультати, яке оточення необхідне стабільної роботи пакета і які є в пакета системні вимоги. Тут варто виділити роботу В. З. Аладьєва та М. Л. Шишкакова [1] щодо введення в середу пакета, його інсталяції, розбір основних компонентів, особливості використання та основ застосування. Ще необхідно також виділити тему 1 та тему 2 з роботи Л. Л. Голубєвої, А. Е. Малевича, Н.Л. Щеголовою [2], які висвітлюють основні логічні компоненти середовища та гарантує плідне знайомство з пакетом, а також з такими базовими об'єктами як:

програмування та функціональне програмування;

Диференціальні рівняння - це один з найчастіше зустрічаються математичних об'єктів. Вміння їх застосовувати та вирішувати – це те, що потрібно практично будь-якому математику у тій чи іншій формі для ефективної наукової діяльності. У роботі А. Н. Прокопеня, А. В. Чичуріна [3] детально розглядаються методи інтегрування диференціальних рівнянь з використанням Mathematica для символьних обчислень та перетворення рівнянь до виду, зручного для інтегрування.

Робота також містить численні приклади, що показують, що з поєднанні теорії диференціальних рівнянь з можливостями пакета Mathematica вдається проінтегрувати навіть ті рівняння, які неможливо вирішити з допомогою лише вбудованих функцій пакета, і навіть приклади виконання чисельних і символьних обчислень і візуалізації математичних об'єктів.

Безумовно, я не можу не згадати про класиків сучасної обчислювальної математики А. А. Самарського [4], В. І. Крилову, П. І. Монастирного [5], у працях яких сконцентровано масу наукової інформації про чисельні методи розв'язання диференціальних рівнянь та завдань, пов'язаних з ними, до яких ми пізнішезвернемося.

Розділ 2. Основні можливості пакету Mathematica

Трохи історії для тих, хто недостатньо добре знайомий із середовищем символьних обчислень Mathematica, що розглядається в даній роботі.

Вона розроблена компанією Wolfram Research Inc, заснованою відомим математиком та фізиком Стефаном Вольфрамом, одним із творців теорії складних систем. Перша версія програми, що з'явилася в 1988 році, стала новим словом в автоматизації математичних розрахунків.

Mathematica відрізняється охопленням широкого кола завдань, оскільки її розробники поставили за мету об'єднати всі відомі математичні методи, що використовуються для вирішення наукових завдань, в уніфікованому та узгодженому вигляді, включаючи аналітичні та чисельні розрахунки.

За основу було взято спеціально розроблену мову символьного програмування, яка здатна оперувати дуже широким спектром різних об'єктів із застосуванням небагатьох базисних конструкцій. Однак програма не набула великої популярності через те, що її складно було освоїти та неможливо працювати без використання об'ємної документації. Тільки в 1991 р., після появи другої версії, в якій розробники усунули багато помилок попередньої версії, а також застосували більш доброзичливий інтерфейс і включили підказки щодо вбудованих функцій, програма почала швидко завойовувати популярність. А на момент виходу Mathematica 3.0 вже було зареєстровано понад мільйон постійних користувачів програми.

Програма складається з двох частин — ядра, яке, власне, і здійснює обчислення, виконуючи задані команди, та інтерфейсного процесора, який визначає зовнішнє оформлення та характер взаємодії з користувачем та системою. Основний робочий документ програми - зошит, в якомуКористувач записує всі викладки. Вигляд робочого зошита на екрані монітора залежить від інтерфейсного процесора, реалізація якого для різних платформ дещо відрізняється.

Інтерфейс програми Mathematica 5.0 спочатку здається дещо примітивним: інструментальна панель - це просто рядок меню, а окреме вікно документа виглядає як би підвішеним. Крім того, на інструментальній панелі відсутні кнопки для виконання операцій, що часто повторюються, які були в попередній версії.

Однак враження примітивності інтерфейсу відразу ж зникає, коли з'ясовується, що можна підключати кнопкові палітри, що настроюються, яких у програмі є більше десятка. За допомогою їх можна виконувати різні функції, а частина кнопок відповідає спеціальним символам. Загалом у програмі понад 700 математичних, мовних та інших символів. При натисканні на кнопки із символом останній переноситься до робочого документа на вказане курсором помсти. Інші кнопки панелі відповідають найменуванню ряду функцій програми, які при виборі вводяться в командний рядок. При натисканні кнопки алгебраїчних перетворень попередньо виділений вираз алгебри трансформується відповідно до назви обраної команди, наприклад спрощується командою simplify.

Програма дозволяє застосовувати різні стилі для оформлення документа на екрані та виведення його на друк, причому у новій версії стилів може бути значно більше, ніж у попередній. Для їхньої зміни передбачена спеціальна палітра.