Завдання 14 з ЄДІ з математики2016
У завданні 14 ЄДІ з математики випускникам, які складають іспит, необхідно вирішити завдання зі стереометрії. Саме тому навчитися вирішувати такі завдання має кожен школяр, якщо хоче отримати позитивну оцінку на іспиті. У цій статті подано розбір двох типів завдань 14 з ЄДІ з математики 2016 року (профільний рівень) від репетитора з математики у Москві.
| У правильній чотирикутній піраміді SABCD сторона основи АВ дорівнює 16, а висота дорівнює 4. На ребрах АВ, CD та AS зазначені точки M, N та К відповідно, причому AM = DN = 4 та АК = 3. |
а) Доведіть, що площини MNK та SBC паралельні.
б) Знайдіть відстань від точки К до площини SBC.
Малюнок до завдання виглядатиме так:
а) Оскільки пряма MN паралельна до прямої DA, яка належить площині DAS, то пряма MN паралельна площині DAS. Отже, лінія перетину площини DAS та перерізу KMN буде паралельна прямій MN. Нехай це лінія KL. Тоді KMNL - шуканий переріз.
Доведемо, що площина перерізу паралельна площині SBC. Пряма BC паралельна до прямої MN, тому що чотирикутник MNCB є прямокутником (доведіть самі). Тепер доведемо подібність трикутників AKM та ASB. AC – діагональ квадрата. За теоремою Піфагора для трикутника ADC знаходимо:
AH - половина діагоналі квадрата, тому . Тоді з теореми Піфагора для прямокутного трикутника знаходимо:
Тоді мають місце співвідношення:
Виходить, що сторони, що утворюють кут A у трикутниках AKM та ASB, пропорційні. Отже, трикутники подібні. З цього випливає рівність кутів, зокрема рівність кутів AMK і ABS. Так як ці кути відповідні при прямих KM, SB та секучій MB, то KMпаралельна SB.
Отже, ми отримали, що дві прямі, що перетинаються, однієї площини (KM і NM) відповідно паралельні двом перетинаються прямим інший площині (SB і BC). Отже, площини MNK та SBC паралельні.
б) Оскільки площини є паралельними, відстань від точки K до площини SBC дорівнює відстані від точки S до площини KMN. Шукаємо цю відстань. З точки S опускаємо перпендикуляр SP до прямої DA. Площина SPH перетинається з площиною перерізу прямою OR. Відстань, що шукається, є довжин перпендикуляра з точки S до прямої OR.
Дійсно, KL перпендикулярна площині OSR, так як вона перпендикулярна двом прямим, що перетинаються, лежать у цій площині (OR і OS). Перпендикулярність OR і KL випливає з теореми про три перпендикуляри. Отже, KL перпендикулярна до висоті трикутника ORS, проведеної до сторони OR. Тобто ця висота перпендикулярна двом прямим, що перетинається, лежать у площині KMN, а значить перпендикулярна цій площині.
Шукаємо сторони трикутника SOR. Сторону SR шукаємо по теоремі Піфагора із прямокутного трикутника RSH: . Довжину SP знаходимо за теоремою Піфагора із прямокутного трикутника PSH: . Трикутники SOK та SPA подібні (доведіть це самі) з коефіцієнтом подібності . Тоді і . З прямокутного трикутника SPH знаходимо. З теореми косінусів для трикутника POR знаходимо, що . Отже, знайшли усі сторони трикутника SOR.
З теореми косінусів для трикутника SOR знаходимо, тоді з основної тригонометричної тотожності знаходимо. Тоді площа трикутника OSR дорівнює:
З іншого боку ця площа дорівнює , де h - Висока висота. Звідки знаходимо.
| У правильній трикутній призмі АВСА1В1С1 сторона основи АВ дорівнює 6, а бічне ребро АА1 дорівнює 3 . На ребрі В1С1 відзначеноточка L так, що B1L = 1. Точки К та М – середини ребер АВ та А1С1 відповідно. Площина γ паралельна прямий АС і містить точки і L. |
а) Доведіть, що пряма ВМ перпендикулярна до площини γ.
б) Знайдіть об'єм піраміди, вершина якої – точка М, а основа – переріз цієї призми площиною γ.
Площини підстав призми паралельні, тому перетин перетинатиме ці площини по прямих LS і DK, які також паралельні. Нехай B1M – висота трикутника A1B1C1, а BE – висота трикутника ABC. Тоді малюнок виглядатиме так:
З прямокутного трикутника B1MA1 знаходимо за теоремою Піфагора. З прямокутного трикутника B1QS знаходимо за теоремою Піфагора. Тоді. Крім того (половина висоти BE правильного трикутника ABC). Трикутники MQT і PTB подібні по двох кутах (кути PTB і MTQ рівні як вертикальні, кути TPB і MQT рівні як навхрест що лежать при паралельних прямих MQ, PB і PQ). Їх коефіцієнт подібності дорівнює.
Далі з прямокутного трикутника MBE знаходимо. Використовуючи доведену подібність, знаходимо . Аналогічно, . Отже, .
Перевіряємо, чи трикутник TPB є прямокутним. Для цього використовуємо теорему, обернену до теореми Піфагора. , , . Отримуємо:
Отже, трикутник TPB прямокутний із прямим кутом T. Доведено, що . По теоремі про три перпендикуляри (розберіться самостійно, чому це так). Виходить, що MB перпендикулярний двом прямим, що перетинається, лежать в площині DKS, а отже перпендикулярний цій площині.
б) Перетин DLSK - трапеція, площа якої дорівнює:
Тоді обсяг шуканої піраміди дорівнює:
Матеріал підготовлений репетитором з математики, Сергієм Валерійовичем