Завдання №3 Рух планет
Рух планет. Закони Кеплера. Паралакс.
Мета: Освоїти методику вирішення завдань, використовуючи закони руху планет.
Методичні вказівки:до виконання завдання слід приступити після вивчення гл.2, 3 §63-68, гл 10 [2], гл 10 [1].
Вихідні дані та довідкова інформація для виконання завдання №3 наведено у додатку №3.
1. Як часто повторюються протистояння планети, сидеричний період якої відомий?
2. Обчислити масу планети, знаючи сидеричний період звернення її супутника та відстань супутника від планети.
3. За який час планета здійснює повний оберт навколо Сонця, якщо відома її відстань від нього?
4. Визначити відстань до небесного тіла, якщо відомий його горизонтальний паралакс.
5. Обчислити параболічну швидкість поверхні супутника, знаючи його радіус і ставлення маси планети до маси супутника.
Загальні відомості з теорії
Планети рухаються навколо Сонця еліптичними орбітами. Витягнутість орбіт мала, і під час вирішення багатьох завдань планетні орбіти вважатимуться круговими і які у площині екліптики. Характерні взаємні розташування планет щодо Сонця та Землі називаютьсяконфігураціями планет. Планети, орбіти яких розташовані всередині земної орбіти називаютьсянижніми, а планети, орбіти яких розташовані поза земною орбітою -верхніми. Зміни верхніх і нижніх планет різні і показано на рис. (3.1), у якому становище Землі відзначено буквою Т, а назви змін надписані. Нижні планети найкраще спостерігати поблизу елонгацій – найбільшого видимого кутового віддалення планети від Сонця. Верхні планети найкраще видно поблизупротистоянь, коли до Землі звернена вся освітлена Сонцем півкуля планети.
 |
Мал. 3.1. Планетні конфігурації
Проміжок часу, протягом якого планета здійснює повний оберт навколо Сонця по орбіті щодо зірок, називаєтьсясидеричним(абозоряним) періодом звернення (Т), а проміжок часу між двома однаковими конфігураціями планети –синодичнимперіодом (S). Планети рухаються навколо Сонця в одному напрямку, і кожна з них через проміжок часу, що дорівнює її сидеричному періоду, робить один повний оборот.
Через проміжок часу, що дорівнює, наприклад, сидеричному періоду Землі (ТÄ), нижня планета обжене Землю, а верхня відстане від неї, тобто початкова конфігурація планет не відновиться. Отже, синодичний період не дорівнює сидеричному. Для нижньої планети, яка рухається орбітою швидше Землі, можна записати
, (3.1)
а для верхньої, яка рухається повільніше, ніж Земля, -
, (3.2)
де ТÄ=1 рік (або 365.26 діб).
Формули (3.1) та (3.2) називаються рівняннями синодичного руху.
Планети навколо Сонця рухаються за законами Кеплера:
1. Орбіта кожної планети є еліпс, у одному з фокусів якого Сонце.
2. Радіус – вектор планети за рівні проміжки часу визначає рівні площі.
3. Квадрати сидеричних періодів обігу двох планет відносяться як куби великих півосей їх орбіт,
(3.4)
(3.5)
Ці закони справедливі і для рухів супутників довкола своїх планет.
Закони руху небесних світил є наслідком їхньої взаємодії позакону всесвітнього тяжіння -всі тіла притягуються один до одного зсилою, модуль якої прямо пропорційний добутку їх мас і обернено пропорційний квадрату відстані між ними.
Закон всесвітнього тяжіння виражається формулою:
, (3.6)
деm1 таm2 – маси тіл;r– відстань між їхніми центрами;f- постійне всесвітнє тяжіння (її значення в системі СІf=6,67*10-11 м/кг с2). Ньютон вивів закони Кеплера із закону всесвітнього тяжіння.
Під дією сили тяжіння одне небесне тіло може рухатися по відношенню до іншого по кривій конічного перерізу - по колу, еліпсу, параболі та гіперболі. У цьому полягаєперший узагальнений закон Кеплера. Для визначення мас небесних тіл важливе значення має узагальнення третього закону Кеплера на будь-які системи тіл, що звертаються.
Квадрати сидеричних періодів планет (Т12 і Т22), помножені на суму мас Сонця і планети (М+m1 і М+m2), відносяться як куби великих півосей орбіт планет (a13 і а23).
Узагальнений третій закон Кеплера застосовний і до інших систем, наприклад, до руху планети навколо Сонця і супутника навколо планети.
І тому порівнюють рух Місяця навколо Землі з рухом супутника навколо планети, масу якої визначають, і навіть масами супутників проти масою центрального тіла нехтують. Тоді маса планети Mn обчислюється за такою формулою:
, (3.8)
де Т1 і 1 – період обігу та велика піввісь орбіти супутника планети.
ШвидкістьVпри русі тіла масиmпід дією тяжіння по орбіті з великою піввіссю на відстаніrвід центрального тіла знаходиться за формулою:
, (3.9)
де М - маса центрального тіла.
Якщоmзначно меншеМ, його можна прийняти у формулі за нуль. ПозначимоfMчерезm..
При русі тіла по колу (r=)з рівняння (3.9) слід
, (3.10)
деVk- кругова швидкість.
При русі тіла параболою (=¥) з рівняння (3.9) слід
, (3.11)
деVП– параболічна швидкість.
Швидкість еліптичного руху VЕ укладена в межах