Значення слова "Многочлен" у Великій Радянській Енциклопедії

Многочлен, поліном, вираз виду

Ax k y l ….. w m + Bx n y p ….. w q + …… + Dx r t s ….

дех, у,. w - Змінні, аА, В, . D(коефіцієнти

Многочлен )і k, l, . t(показники ступенів - цілі невід'ємні числа) - постійні. p align="justify"> Окремі доданки видуАх k y l ..... w mназиваються членамиМногочлен Порядок членів, а також порядок множників у кожному члені можна змінювати довільно; так само можна вводити чи опускати члени з нульовими коефіцієнтами, а кожному окремому члені — ступеня з нульовими показниками. У разі, колиМногочлен має один, два або три члени, його називають одночленом, двочленом або тричленом. Два члениМногочлен називаються подібними, якщо в них показники ступенів при однакових змінних попарно рівні. Подібні між собою члени

А"х k y l ..... w m, B"x k y l ..... w m, .... D"x k y l ….. w m

можна замінити одним (наведення подібних членів). ДваМногочлен називаються рівними, якщо після приведення подібних всі члени з відмінними від нуля коефіцієнтами виявляються попарно однаковими (але, можливо, записаними в різному порядку), а також якщо всі коефіцієнти цихМногочлен виявляються рівними нулю. В останньому випадкуМногочлен називається тотожним нулем і позначають знаком 0.Многочлен від одного змінного х можна завжди записати у вигляді

Суму показників ступенів якогось членаМногочлен називають ступенем цього члена. ЯкщоМногочлен не тотожний нуль, то серед членів з відмінними від нуля коефіцієнтами (передбачається, що всі подібні члени наведені) є один або кілька найбільшихступеня; цей найбільший ступінь називають ступенемМногочлен Тотожний нуль не має ступеня.Многочлен нульового ступеня зводиться до одного членаА(постійному, не рівному нулю). Приклади:xyz+х+у+zє багаточлен третього ступеня, 2x+у-z+ 1 є багаточлен першого ступеня (лінійнийМногочлен ), 5x2 - 2x2 - 3х2 не має ступеня, тому що це тотожний нуль.Многочлен, всі члени якого однакового ступеня, називається одноріднимМногочлен, абоформою;форми першого, другого і третього ступенів називаються лінійними, квадратичними , кубічними, а за кількістю змінних (два, три) двійковими (бінарними), трійчастими (тернарними) (наприклад,x2 +y2 +z2 -ху-yz-xzє трійчаста квадратична форма).

Щодо коефіцієнтівМногочлен передбачається, що вони належать певному полю (див.Полеалгебраїчне), наприклад полю раціональних, дійсних або комплексних чисел. Виконуючи надМногочлен дії складання, віднімання та множення на підставі переміщувального, сполучного та розподільчого законів, отримують зновуМногочлен Таким чином, сукупність всіхМногочлен з коефіцієнтами з даного поля утворює кільце (див.Кільцеалгебраїчне) - кільце многочленів над даним полем; це кільце немає дільників нуля, т. е. твірМногочлен, не рівних 0, неспроможна дати 0.

Якщо для двох багаточленівР(х) іQ(x) можна знайти такий багаточленR(x), щоР=QR, то кажуть, щоРділиться наQ; Qназивається дільником, aR- приватним. ЯкщоРне поділяється наQ, томожна знайти такі багаточлениР(х) іS(x), щоР=QR+S, причому ступіньS(x) менше ступеняQ(x).

За допомогою повторного застосування цієї операції можна знаходити найбільший спільний дільникРіQ, тобто такий дільникРтаQ, який ділиться на будь-який спільний дільник цих багаточленів (див.Евкліда алгоритм).Многочлен, який можна подати у вигляді творуМногочлен нижчих ступенів з коефіцієнтами з даного поля, називається наведеним (в даному полі), в іншому випадку - ненаведеним. НеприводимыеМногочлен грають у кільціМногочлен роль, схожу з простими числами в теорії цілих чисел. Так, наприклад, вірна теорема: якщо добутокPQділиться на неприведений багаточленR, aPнаRне ділиться, то тодіQмає ділитися наR. Коженбагаточлен ступеня, більшої за нуль, розкладається в даному полі в твір ненаведених множників єдиним чином (з точністю до множників нульового ступеня). Наприклад, багаточленx4 + 1, що не наводиться в полі раціональних чисел, розкладається на два множники

у полі дійсних чисел та на чотири множники у полі комплексних чисел. Взагалі коженбагаточлен від одного змінногохрозкладається в полі дійсних чисел на множники першого та другого ступеня, у полі комплексних чисел - на множники першого ступеня (основна теорема алгебри). Для двох і більшої кількості змінних цього не можна стверджувати; наприклад, багаточленx3 +yz2 +z3 не наводиться в будь-якому числовому полі.

Якщо зміннимх, у, .wнадати певні числові значення (наприклад, дійсні чи комплексні), тоМногочлен також отримає певне числове значення. Звідси випливає, коженМногочлен можна як функцію відповідних змінних. Ця функція безперервна і диференційована за будь-яких змінних змін; її можна характеризувати як цілу раціональну функцію, тобто функцію, що виходить із змінних та деяких постійних (коефіцієнтів) за допомогою виконаних у певному порядку дій додавання, віднімання та множення. Цілі раціональні функції входять до ширшого класураціональних функцій,де до перерахованих дій приєднується розподіл: будь-яку раціональну функцію можна представити у вигляді приватного двохМногочлен Нарешті, раціональні функції містяться в класіалгебраїчних функцій.

До найважливіших властивостейМногочлен відноситься те, що будь-яку безперервну функцію можна з довільно малою помилкою замінитиМногочлен (теорема Вейєрштрасса; точна її формулювання вимагає, щоб дана функція була безперервна на якомусь обмеженому , замкнутому множині точок, наприклад на відрізку числової осі). Цей факт, що доводиться засобами математичного аналізу, дає можливість приблизно висловлювати багаточлен будь-який зв'язок між величинами, що вивчається в будь-якому питанні природознавства і техніки. Способи такого вираження досліджуються у спеціальних розділах математики (див.Наближення та інтерполювання функцій,Найменших квадратів метод).

В елементарній алгебрі багаточленом іноді називаються такі вирази алгебри, в яких останнім дією є складання або віднімання, наприклад

Літ. :Курош А. Р., Курс вищої алгебри, 9 видавництво,Многочлен, 1968; Мішина А. П., Проскуряков І. Ст, Вища алгебра, 2 видавництва,Многочлен, 1965.