Значення ВЕЛИКИХ ЧАСТОК МЕТОД в математичній енциклопедії
Значення ВЕЛИКИХ ЧАСТОК МЕТОД в математичній енциклопедії:
- метод для розрахунку стисливих протягом суцільного середовища [1]. ч. м. ґрунтується на розщепленні вихідної системи диференціальних рівнянь за фізичними процесами (див. [3]). Ним вирішується еволюційна система рівнянь. Допускається стаціонарне рішення внаслідок встановлення. ч. м. є розвитком методу "часток в осередках" Харлоу. К. ч. м. широко використовується для дослідження аерогазодинаміч. течій, дифракційних завдань, трансзвукових потоків, явищ взаємодії випромінювання з речовиною та ін.
Різнисна схема К. ч. м. може бути описана на прикладі руху ідеального газу, що стискається (рівняння нерозривності, імпульсу та енергії):
Тут - час, - щільність, = - швидкість,Е -повна питома енергія,Р -тиск. Для замикання системи (1) використовується рівняння стану
- Внутрішня питома енергія.
Процес вирішення еволюційної системи (1) розбивається на кроки за часом, кожен з яких брало складається з трьох етапів: ейлерова, лагранжева і заключного. Спочатку розглядається зміна внутрішнього стану підсистеми - "великої частинки" (ейлерів етап), а потім - переміщення цієї підсистеми без зміни внутрішнього стану (лагранжів та заключний етапи).
Ейлерів етап. Область інтегрування покривається нерухомою (ейлеровою) різницевою сіткою довільної форми. У цьому етапі розрахунку змінюються лише величини, які стосуються осередку загалом, а рідина передбачається моментально загальмованою.
Тому конвективні члени виду відповідають ефектампереміщення з рівнянь (1) опускаються. У рівняннях (1), що залишилися, виноситься з-під знака диференціала, і рівняння (1) дозволяються щодо тимчасових похідних відu, v, Е:
Найпростіша кінцева різницева апроксимація (центральні різниці) призводить до наступних виразів:
Тут величини з дрібними індексами відносяться до кордонів осередків, напр.
- проміжні значення параметрів потоку, отримані в припущенні "замороженості" поля р на шарі Хоча схема ейлерового етапу в даному виді нестійка, за певних форм запису наступних етапів вся схема в цілому - стійка. Стійкості ейлерового етапу можна досягти, напр., шляхом введення в нього елементів інтегральних співвідношень методу. i методу інтегральних співвідношень: вихідна система рівнянь береться в інтегральному вигляді, у ній апроксимуються інтеграли.
Лагранжів етап. На даному етапі знаходяться потоки маси через межі осередків. При цьому вважають, що маса великої частки переноситься тільки за рахунок нормальної межі складової швидкості. Так, наприклад,
і т. д. Знак визначає параметри і на межі осередку. Вибір цих величин має значення, оскільки сильно впливає стійкість і точність рахунки. Можливі різні різницеві уявлення для різного порядку точності, з урахуванням і без урахування напряму потоку, центральні різниці, ZIР-аппроксимації тощо. Проводилися також апроксимації як потоків маси, а й потоків імпульсу й енергії.
Останній етап.На цьому етапі знаходяться остаточні поля ейлерових параметрів потоку в момент рівняння цього етапу являють собою закони збереження масиМ,імпульсу та повної енергії E, записані для даної комірки (великої частинки) у різницевій формі
М п+1=
Остаточні значення параметрів потоку на наступному часовому шарі обчислюються за формулами (потік тече зліва направо та знизу вгору):
Консервативність і повну дивергентність різницевої схеми (схема дивергентно-консервативна) забезпечує рівняння для повної енергіїЕ.На заключному етапі (у разі використання дискретної моделі середовища) доцільно проводити додатковий перерахунок густини, що згладжує флуктуації та підвищує точність. Комбінуючи різні уявлення етапів, одержують серію різницевих схем К. ч. м., що дозволяє здійснити широкий клас чисельних експериментів.
До. ч. м. допускає трактування з різних точок зору: метод розщеплення, змішаний ейлерово-лагранжевий метод, розрахунок у локально-лагранжових координатах (ейлерів етап) з перерахунком на колишню сітку (лагранжів та заключний етапи), різницевий запис законів збереження для елемента рідини - "великої частинки", ейлерова різницева схема.
Граничні умови ставляться за допомогою рядів фіктивних осередків (щоб кожну розрахункову точку зробити внутрішньою та зберегти єдиний алгоритм для всіх осередків). Для схеми 1-го порядку апроксимації достатньо одного шару, для 2-го порядку - два шари і т.д. Наведені раніше розрахункові формули справедливі для внутрішніх осередків поля, з усіх боків оточених рідиною, та дляосередків, прилеглих до твердого тіла, контур якого збігається з межами осередків.
При розрахунку обтікання тіл звичайно різницевими методами можна використовувати два підходи: розрахунок у координатах s, і; введення на розгляд дробових осередків (див. [2]). У першому випадку важко розраховувати тіла зі зламами та з увігнутостями. Другий підхід вільний від цих недоліків.
Граничні умови на тілі у разі дробових осередків ставляться, як і у випадку цілих осередків, за допомогою введення фіктивних осередків. Усередині тіла формується шар фіктивних осередків, що прилягають до дрібних осередків. Для визначення параметрів газу в цих фіктивних осередках із центру фіктивного осередку, а на контур тіла опускають нормаль і в точці їх перетину Апроводят дотичну k-k(див. рис.). Потім у полі течії будують нек-ру осередок b симетричну даної фіктивної осередку a щодо дотичної k-k.Газодинамич. параметри g в комірці визначають шляхом "зважування" де підсумовування проводиться за тими комірками г, частина площі яких потрапила в комірку Постановка умов непротікання вимагає для кожного фіктивного комірки завдання ще одного параметра кута нахилу радіус-вектора, що перетинає контур тіла в точціА.При використанні умов прилипання (обидві компоненти швидкості при переході через поверхню тіла змінюють знак) не потрібно завдання додаткового параметра Параметри газу в фіктивному осередку, а тоді будуть
Граничні умови для тіла, контур якого збігається з межами осередків, є окремим випадком викладених тут граничних умов.
Для кожного дробового осередку (див. рис.) необхідно знати 5 геометрич. характеристик: де - частка обсягу дробового осередку по відношенню до обсягу повного осередку - частина площі сторони відкритої для течії рідини, і т. п.
Розміщення твердої межі всередині комірки вносить дві особливості: воно зміщує центр мас з геометричних. центру осередку ближче до кордону і зменшує реальні розміри осередку. При розгляді як цілих, і дробових осередків всі параметри потоку ставляться до центру маси. Саме між центрами мас проводиться інтерполяція газодинамічних. функцій. У разі цілих осередків центр мас або збігається з геометричними. центром осередків (плоска декартова система координат), чи близький щодо нього (циліндрич. система координат). У реальних розрахунках різниця навіть для прилеглого до осі ряду осередків не перевищує результати розрахунків ця обставина не вносить суттєвих спотворень. При належному введенні дробових осередків зміщення центру маси щодо геометрич. центр також не перевищує цієї величини. Більш серйозним є питання, пов'язане із зменшенням ефективних розмірів осередку. Щоб при зменшенні розмірів комірки не порушувалася умова стійкості де l-xабоу,комірки приєднуються до сусідніх цілих осередків усередині потоку і отримані комплекси розраховуються за формулами дробових осередків. І тут геометрич. розміри укрупненого осередку не менше розмірів цілого осередку: тому питання про стійкість дробових осередків знято.
У плоскому випадку геометричні. Показники дробових осередків можна отримати безпосереднім виміром. В осесиметричному випадку необхідно зробити додатковий перерахунок з урахуванням відстані даної дрібної комірки до осі симетрії. Різнисті формули для дробових осередків виходять шляхом незначної зміни різницевих виразів для осередків.
Дослідження різницевих схем До. ч. м. (апроксимації, в'язкісні ефекти, стійкості) проводилося за допомогою диференціальних наближень (див. [4]). Проведено узагальнення До.
Літ.:[1] Білоцерковський О. М., Давидов Ю. М., "Ж. обчисл. матем. і матем. фіз." , 1971, т. 11, К1, с. 182-207; [2] Давидів Ю. М., там же, № 4,с. 1056-63; [3] Марччук Г. І., Методи обчислювальної математики, Новосиб., 1973; [4] Білоцерковський О. М., Давидов Ю. М., Дослідження схем методу "великих частинок" за допомогою диференціальних наближень, в кн.: Проблеми прикладної математики і механіки, М., 1971, с. 145-55.Ю. М. Давидов.