Знайдіть точку максимуму функції у х^3–5х^2 7х–5

Настав час у цьому розділі розглянути статечні функції. На блозі вже представлені завдання на знаходження точок максимуму та мінімуму різних функцій, а саме: функцій з числом е, з логарифмами, тригонометричні, раціональні.

Алгоритм знаходження даних точок обговорювався вже неодноразово, коротко повторюся:

1. Знаходимо похідну функції.

2. Знаходимо нулі похідної (прирівнюємо похідну до нуля і розв'язуємо рівняння).

3. Далі будуємо числову вісь, на ній відзначаємо знайдені точки та визначаємо похідні знаки на отриманих інтервалах. *Це робиться шляхом підстановки довільних значень з інтервалів у похідну.

4. Далі робимо висновок.

Якщо ви зовсім не знайомі з властивостями похідної для дослідження функцій, обов'язково вивчіть статтю «Дослідження функцій. Це треба знати! ». Також повторіть таблицю похідних та правила диференціювання (є в цій статті). Розглянемо завдання:

77431. Знайдіть точку максимуму функції у = х 3 –5х 2 +7х–5.

Знайдемо похідну функції:

Знайдемо нулі похідної:

3х 2 - 10х + 7 = 0

Вирішуючи квадратне рівняння отримаємо:

*Це точки можливого максимуму (мінімуму) функції.

Визначаємо знаки похідної функції на інтервалах та відзначимо їх на ескізі. Підставляємо довільне значення з кожного інтервалу у вираз похідної:

у(0) ' = 3∙0 2 – 10∙0 + 7 = 7 > 0

у(2) ' = 3∙2 2 – 10∙2 + 7 = – 1

у(3) ' = 3∙3 2 – 10∙3 + 7 = 4 > 0

У точці х = 1 похідна змінює свій знак з позитивного на негативний, отже це шукана точка максимуму.

77432. Знайдіть точку мінімуму функції у = х 3 +5х 2 +7х–5.

Знайдемопохідну функції:

Знайдемо нулі похідної:

3х 2 + 10х + 7 = 0

Вирішуючи квадратне рівняння отримаємо:

у( –3 ) ' = 3∙(–3) 2 + 10∙(–3) + 7 = 4 > 0

у( –2 ) '= 3∙(–2) 2 + 10∙(–2) + 7 = –1

у(0 ) '= 3∙0 2 – 10∙0 + 7 = 7 > 0

У точці х = –1 похідна змінює свій знак з негативного на позитивний, отже це шукана точка мінімуму.

77435. Знайдіть точку максимуму функції у = 7+12х-х 3

Знайдемо похідну функції:

Знайдемо нулі похідної:

Вирішуючи рівняння отримаємо:

*Це точки можливого максимуму (мінімуму) функції.

у( –3 ) '= 12 – 3∙(–3) 2 = –15

у(0 ) '= 12 – 3∙0 2 = 12 > 0

у(3) '= 12 – 3∙3 2 = –15

У точці х = 2 похідна змінює свій знак з позитивного на негативний, отже це шукана точка максимуму.

*Для цієї функції точкою мінімуму є точка х = – 2.

77439. Знайдіть точку максимуму функції у = 9х2 – х3.

Знайдемо похідну функції:

Знайдемо нулі похідної:

Вирішуючи рівняння отримаємо:

у(-1) '= 18 (-1) -3 (-1) 2 = -21

у(1 ) '= 18∙1 –3∙1 2 = 15 > 0

у(7 ) '= 18∙7 –3∙7 2 = –1

У точці х = 6 похідна змінює свій знак з позитивного нанегативний, отже це шукана точка максимуму.

*Для цієї функції точкою мінімуму є точка х = 0.

77443. Знайдіть точку максимуму функції у = (х 3 /3)–9х–7.

Знайдемо похідну функції:

Знайдемо нулі похідної:

Вирішуючи рівняння отримаємо:

у (-4) '= (-4) 2 - 9 & gt; 0

У точці х = – 3 похідна змінює свій знак з позитивного на негативний, отже це шукана точка максимуму.

*Для цієї функції точкою мінімуму є точка х = 3.

77443. Знайдіть точку максимуму функції у = 5+9х– (х 3 /3).

Знайдемо похідну функції:

Знайдемо нулі похідної:

Вирішуючи рівняння отримаємо:

У точці х = 3 похідна змінює свій знак з позитивного на негативний, отже це шукана точка максимуму.

*Для цієї функції точкою мінімуму є точка х = – 3.

77419. Знайдіть точку максимуму функції у = х 3 – 48х+17. Рішення .

77423. Знайдіть точку максимуму функції у = х 3 -3х 2 +2. Рішення .

77427. Знайдіть точку максимуму функції у = х 3 +2 х 2 + х +3. Рішення .