08 Електричне поле постійних струмів
Електричне поле постійних струмів
1. Рівняння електромагнітного поля постійних струмів
Розглянемо поле постійних струмів у нерухомих провідниках та провідних середовищах. Постійний струм може протікати тільки в замкнутому провідному ланцюгу. Рівняння електромагнітного поля для випадку постійних струмів у нерухомому провідному середовищі поза джерелами е.р.с. мають вигляд
rot H = j, rot E = 0, div D = div B = 0.
Умова rot E = 0 свідчить, що поза джерелом е.р.с. електричне поле постійних струмів так само, як і електростатичне поле, безвихровим і потенційним.
Рівняння безперервності у разі постійних струмів зводиться до рівняння div j =0,
яке виражає те, що лінії вектора густини струму в цьому випадку не мають ні початку, ні кінця. Співвідношення (2) називають першим законом Кірхгофа в диференціальній формі.
Обчислимо інтеграл j d l взятий уздовж деякого замкнутого контуру L,
збігається із замкненою силовою лінією. Якщо є тільки електростатичне поле E кулонівського походження, то щільність струму пов'язана з напруженістю рівнянням j = = E , де E = grad . Тоді
= E d l grad d l - d 0.
Так як інтегрування в інтегралі j d l ведеться вздовж лінії густини струму, то елемент
шляхи інтегрування d l у кожній точці паралельний вектору густини струму. Отже, j d l = jdl. З урахуванням сказаного рівність (3) набуває вигляду
Підінтегральний вираз по всьому шляху інтегрування не змінює знака. За такої умови з рівності нулю інтеграла слід рівність нулю підінтегрального виразу: j=0. Тим самим було доведено, що існування постійного струму за наявності лише кулонівських сил електростатичного поля неможливе.
Постійні струмиможуть існувати лише за наявності полів неелектростатичного походження. Такі поля існують у джерелах струму – гальванічних елементах, акумуляторах, генераторах. Ці поля, що називаються сторонніми, пов'язані з цими полями сили, що забезпечують рух зарядів та виникнення струму, називаються сторонніми електрорушійними силами (сторонніми е.д.с.).
Узагальнення закону Ома. Щільність струму обумовлюється як електростатичним полем, а й полем сторонніх сил. Поле сторонніх сил характеризується вектором Естор, який визначається як напруженість електричного поля, що породжує таку ж щільність електричного поля, яка породжується сторонніми силами неелектростатичного походження. У зв'язку з цим закон Ома має бути написаний у вигляді
Рівняння (4) називають узагальненим законом Ома у диференційній формі. Якщо від обох частин рівняння (4) взяти інтеграл по замкнутому контуру, що включає в себе
Електричне поле постійних струмів
джерело е.р.с., буде отримано другий закон Кірхгофа, тому рівняння (4) називають також другим законом Кірхгофа в диференційній формі.
Закон Джоуля-Ленца у диференційній формі. Потужність теплових втрат у провіднику дорівнює добутку струму та напруги P=IU. Якщо розглянути в провідному середовищі елемент об'єму dV, то потужність, яка витрачається в цьому об'ємі на теплові втрати, дорівнюватиме:
dP jE E 2 j 2 / . dV
Це і є диференціальна форма закону Джоуля Ленца.
Потужність теплових втрат обсягом V можна виразити так: P E 2 dV
2. Електричне поле в діелектриці, що оточує провідники з постійними струмами
Так як струми в діелектриці відсутні, слід покласти в ньому тому поле в діелектриці характеризуєтьсярівняннями:
rot E = 0, div D = 0 D = E .
Що стосується однорідної середовища, коли const, ці рівняння дають div E = 0 чи =0, тобто. потенціал задовольняє рівняння Лапласа
Таким чином, у самому діелектрику таке поле нічим не відрізняється від електростатичного. Однак граничні умови на поверхні провідників уже не відповідають тим, що мали місце в електростатиці. У разі електростатичного завдання поверхня кожного провідника є поверхнею рівного потенціалу. Це випливає із закону j = E. Математично провідники характеризуються тим, що їх провідність 0, тому якщо j = 0, то при електростатичній рівновазі E = 0, тобто. поле у провіднику дорівнює нулю лише тоді, коли в ньому відсутні струми, а заряди перебувають у рівновазі.
При проходженні провідником електричного струму у провіднику виникає падіння потенціалу, і, отже, поверхня провідника вже не буде еквіпотенційною. Лінії напруженості електричного поля в діелектриці підходять до поверхні провідника не під прямим кутом, оскільки поверхні провідника з'являється дотична складова напруженості поля у бік ліній струму.
З принципової точки зору, зазначена обставина істотно ускладнює розрахунок поля, проте практично у багатьох випадках його можна не враховувати, оскільки зазвичай дотична складова напруженості поля набагато менша за нормальну складову. Дотична складова може бути визначена виразом E t = j/ . Якщо прийняти для мідних проводів См/м і j = 5 А/м 2 , отримаємо для E t = 0,086 В/м. У разі проводів лінії низької напруги величина Е n має величину близько 1000 В/м, тоді E n /E t & gt; 10 4 . Для ліній високої напруги ця величина досягає 107.
Отримані цифрипоказують, що складова E t мізерно мала порівняно з E n - (E t E n ), і при розгляді поля біля проводів нею можна знехтувати без побоювання внести цим помітну помилку. У разі граничні умови лежить на поверхні провідників виявляються тотожними умовам в електростатиці.