1 КОМІТЕТ З ВИЩОЇ ШКОЛИ МІНІСТЕРСТВА НАУКИ, ВИЩОЇ ШКОЛИ ТА ТЕХНІЧНОЇ ПОЛІТИКИ української
Методичні вказівки призначені для студентів та викладачів фізичного факультету.
Друге видання здійснено в електронному вигляді у 2003 році. Він лише виправлені друкарські помилки, що вкралися в перше видання 1993 року.
Обговоримо основні особливості запропонованих вам методичних вказівок.
Насамперед, ми за традицією уникаємо застосування контурних інтегралів від функцій комплексного змінного та теорії відрахувань, оскільки на фізичному факультеті курс теорії функцій комплексного змінного в різні роки читається в різних семестрах, зокрема бувало й так, що перші лекції з цього предмету совwww.phys .nsu.ru падали за часом із вивченням ортогональних багаточленів. Цим, зокрема, пояснюється відсутність у нашому посібнику таких важливих тем, як інтегральні уявлення та асимптотичні розкладання ортогональних багаточленів.
Інша особливість нашого підходу полягає в тому, що на лекціях викладається лише матеріал параграфів 1–11, тобто загальні властивості ортогональних багаточленів та теорія багаточленів Лежандра. Цей матеріал входить в екзаменаційні квитки, а відповідні завдання вирішуються на практичних заняттях і виносяться на зарахування, силу бюрократичних причин іменований допуском. Теорія багаточленів Ерміта і Лагерра, що міститься в параграфах 12–21, будується за аналогією з теорією багаточленів Лежандра. Використовуючи цю обставину, ми не розповідаємо матеріал зазначених параграфів на лекціях. Він повідомляється без доказів викладачами на практичних заняттях. Відповідно, питання, що стосуються багаточленів Ерміта та Лагерра, не входять до екзаменаційних квитків, а від студентів потрібне лише знання формулювань відповідних теорем та вміння вирішувати завдання, що вони й мають продемонструвати на заліку.
Розв'язання задачі квантування гар, що міститься в параграфі 16 www.phys.nsu.ru монічного осцилятора виходить за рамки курсу математичного www.phys.nsu.ru аналізу і являє собою факультативний матеріал, що ілюструє типове застосування ортогональних багаточленів у фізиці.
Наш виклад найближче до прийнятого в книгах 1. Н. Н. Лебедєв. Спеціальні функції та їх застосування.
М. Л.: Фізматгіз, 1963.
2. П. К. Суєтін. Класичні ортогональні багаточлени.
е Виклад, орієнтований на фізиків, і забезпечений фізичними прикладами, читач знайде в книзі:
ет 3. Г. Арфкен. Математичні методи у фізиці. М.: Атоміздат, 1970.
Дуже стисле введення у теорію ортогональних багаточленів, здійснене з погляду завдання Штурма-Лиувилля, міститься у книзі ww.phys.nsu.ru 4. А. М. Тихонов, А. А. Самарський. Рівняння математичної фізики. М: Наука, 1977.
Максимальне використання теорії функцій комплексного змінного при побудові теорії ортогональних багаточленів здійснено у книзі:
5. А. Ф. Никифоров, В. Б. Уваров. Основи теорії спеціальних функцій. М: Наука, 1974.
У наступній класичній і найповнішій монографії про ортогональні багаточлени виклад вед з набагато більш загальних, ніж у нас позицій 6. Г. Сег Ортогональні багаточлени. М.: Фізматгіз, 1962.
Я глибоко вдячний А. А. Єгорову за комп'ютерний набір цього посібника.
www.phys.nsu.ru www.phys.nsu.ru § 1. Ортогональні багаточлени як результат ортогоналізації системи мономів Нагадаємо, що процес ортогоналізації Грама-Шмідта полягає в тому, що лічильної послідовності x1. xn. лінійно незалежних векторів речового гільбертового простору H зіставляються нові послідовності y1. yn. та z1. zn. векторівз H наступним чином:
y1 = x1, z1 = y1 / y1, y2 = x2 - (x2, z1) z1, z2 = y2 / y2.
n-yn = xn - (xn, zk) zk, zn = yn/yn. k=1.
У цьому кажуть, що послідовність z1. zn. напівwww.phys.nsu.ru чена з x1. xn. за допомогою процесу ортогоналізації Грама Шмідта. Як відомо, вона має такі властивості:
1) послідовність z1. zn. ортонормована;