1 Роль та місце поняття «площа у шкільному» курсі математики
У шкільних підручниках площа багатокутника визначається за допомогою зазначення її властивостей:
чисельне значення площі будь-якого багатокутника завжди позитивне;
площі рівних багатокутників, тобто. багатокутників, які можна поєднати за допомогою руху, однакові;
площа багатокутника, отриманого об'єднанням двох багатокутників, що не мають загальних внутрішніх точок, дорівнює сумі площ складових багатокутників (багатокутники, що не мають загальних внутрішніх точок, називатимемо такими, що не перекриваються);
площа квадрата зі стороною одиничної довжини дорівнює одиниці. У різних підручниках визначення площі дещо відрізняються один від одного, але суть визначень збігається із зазначеним вище.
Таким чином, площу багатокутників можна трактувати як функцію , задану на множині всіх багатокутників, що приймає числові значення і має наступні властивості (їх іноді називають аксіомами площі):
(Позитивність площі) для будь-якого багатокутника справедливо;
(інваріантність площі) якщо , то символ «» тут позначає, що багатокутники можуть бути поєднані рухом;
(Адитивність площі) якщо і багатокутники і не перекриваються, то;
(Нормованість площі) для квадрата зі стороною одиничної довжини .
Це визначення за своїм характером схоже, наприклад, на визначення арифметичного кореня:b– є невід'ємне число, n-й ступінь якого дорівнює.
Адже й у разі арифметичний корінь визначається зазначенням його властивостей. Для коректного визначення арифметичного кореня треба довести, що таке число, по-перше, існує і, по-друге, єдине. Перше випливає з того, що безліч значень функції є. Другевипливає із строго монотонного зростання розглянутої функції.
Для коректного визначення площі багатокутників функції потрібно довести, що така функція існує єдина.
Багатьом саме питання (про визначення площі) здасться штучним: вони скажуть, що площа – первинне поняття, яке не підлягає визначенню.
Погляд на площу як на первинне поняття склався ще в давнину. Донедавна цього погляду дотримувалися і математики. Протягом багатьох століть вони бачили завдання у обчисленні площ; їм не спадало на думку, що «площа» потребує спеціального визначення.
Тим часом їх обчислення мали на чомусь ґрунтуватися – якщо не на прямому визначенні, то на чомусь, що його замінює, на якихось принципах, які дозволяли їм щоразу отримувати як площу певну кількість. І такі принципи, звісно, існували, хоча зазвичай не формулювалися. Це є основні властивості площі. Так, у шкільних підручниках площа багатокутників взагалі не визначається, але вказуються її властивості, що відповідають аксіомам площі, або визначення носять формально-дескриптивний характер, але властивості, що визначають площу, використовуються не для побудови загальної функції, а для обчислення площі основних плоских фігур: прямокутника , паралелограма, трикутника, трапеції і плоских фігур складаються з цих основних.
Познайомившись із поняттям «площа» в п'ятому класі і навчившись вимірювати площу плоских фігур безпосередньо (шляхом підрахунку одиничних квадратів, що уміщаються в цій фігурі), учні стикаються з проблемою неточності при такому способі виміру. Тут запроваджується так званий непрямий метод виміру площі. Тобто площа не вимірюється, а обчислюється за якоюсь формулою. І томупротягом усього курсу математики школярі вчаться не вимірювати, а обчислювати площі плоских геометричних фігур за допомогою формул.