10 клас

10 клас. Геометрія. Схрещувальні прямі.

  • Зміст
  • Заняття
  • Обговорення
  • Про курс

Питання

Задай своє питання щодо цього матеріалу!

Поділися з друзями

Коментарі викладача

1. Тема уроку

Схрещувальні прямі. Проведення через одну з прямих, що схрещуються

площини, паралельної інший прямий.

На цьому уроці ми розглянемо визначення прямих, що схрещуються, і доведемо теорему – ознака схрещуваних прямих.

2. Визначення прямих, що схрещуються

Визначення. Дві прямі називаються такими, що схрещуються, якщо вони не лежать в одній площині.

3. Теорема 1 (ознака схрещуваних прямих) та її доказ

Теорема (ознака прямих, що схрещуються)

Якщо одна з двох прямих лежить у деякій площині, а інша пряма перетинає цю площину в точці, яка не лежить на цій прямій, то ці прямі схрещуються.

Нехай нам дано площину α. Пряма АВ лежить у площині α, а пряма DC перетинається з площиною α у точці С, яка не лежить на прямій АВ (Рис. 1). Доведемо, що прямі АВ та DC є схрещуючими.

схрещуються

Використовуємо метод протилежного. Припустимо, що площина β, у якій лежить, і пряма АВ і пряма DC. Тоді в площині лежить пряма АВ і точка С. Через пряму і точку, що не лежить на ній проходить єдина площина - α. Отже, такої площини, в якій лежить, і пряма АВ і пряма DC, не існує. Тобто, прямі АВ і DC – схрещуються. Теорему доведено.

4. Можливі випадки розташування прямих

Три випадки розташування прямих

1)Прямі a і b перетинаються у певній точці З: (Рис. 2.). Як ми знаємо, через дві прямі, що перетинаються, проходить єдина площина.

2) Прямі a та b паралельні: a b (Рис. 3.). Якщо прямі паралельні, то вони лежать в одній площині і не перетинаються.

Зауважимо, що у першому, й у другий випадок прямі лежали лише у площині.

3) Прямі a та b схрещуються (Рис. 4.). Тобто прямі a та b не лежать в одній площині.

площині

5. Приклад прямих, що схрещуються, в трикутній піраміді

Дано трикутну піраміду ABCD, АВС – площину основи, точка D не лежить у площині АВС (Рис. 5.). Чому прямі АВ і DC схрещуються?

лежить

Пряма DC перетинає площину АВС у точці С, яка не лежить на прямій АВ, а пряма АВ лежить у площині АВС. Отже, за ознакою, прямі АВ і DC – схрещуються. Тобто протилежні ребра трикутної піраміди лежать на прямих, що схрещуються.

6. Теорема 2 та її доказ

Через кожну з двох прямих, що схрещуються, проходить площина, паралельна іншій прямій, і притому тільки одна.

Нехай нам дано дві прямі АВ і CD, що схрещуються. Доведемо, що через пряму АВ проходить площина, паралельна до прямої CD, і до того ж лише одна.

схрещуються

Проведемо через точку А пряму АЕ, паралельну до прямої DC (Рис. 6.). По теоремі про паралельні прямі, така пряма існує і єдина. Тоді через дві прямі АВ і АЕ, що перетинаються, можна провести єдину площину α. Так як пряма DC, яка не лежить у площині α, паралельна прямій АЕ, що лежить у площині α, означає, що пряма DC паралельна площині α, за ознакою паралельності прямій та площині. Існування підтверджено.

Доведемо єдиність такої площини. Нехайіснує інша площина, яка проходить через пряму АВ і паралельна прямий DC. Тоді пряма АЕ перетинає площину β, отже, і паралельна їй пряма DC перетинає площину β, по лемі. Тобто, пряма DC не є паралельною площині β. Набули протиріччя. Отже, площина – єдина. Теорему доведено.

7. Завдання 1

Точка D не лежить у площині трикутника АВС, точки M, N, P – середини відрізків DA, ​​DB та DC відповідно, точка K лежить на відрізку BN (Рис. 7.). З'ясуйте взаємне розташування прямих.

клас

Пряма ND – це інше позначення прямої ВD. Пряма ВD та пряма АВ лежать у площині АВD і перетинаються.

Прямі PK та НД лежать в одній площині. Значить, вони або паралельні або перетинаються. Проведемо середню лінію NP (N, P – середини відрізків DB та DC відповідно). За властивістю середньої лінії, пряма NP паралельна до прямої ВС. Через точку Р можна провести лише одну пряму, паралельну до прямої ВС, і це пряма NP. Значить, будь-яка інша пряма, що проходить через точку Р, не паралельна прямий НД. Значить, PK і ВС перетинаються.

У трикутнику ABD точки M та N – середини сторін АD та ВD. Отже, МN – середня лінія. За якістю середньої лінії, МN паралельна АВ.

У трикутнику ACD точки M і Р - середини сторін АD і СD. Отже, МР – середня лінія. За якістю середньої лінії, МР паралельна АС.

Пряма КN та пряма ВD – це та сама пряма. Пряма АС лежить у площині АВС, пряма ВD перетинає площину АВС у точці, що не лежить на прямій АС. Отже, за ознакою, прямі ВD і АС – схрещуються. Тобто, прямі КN і АС схрещуються.

Пряма МD та пряма АD – це та сама пряма. Пряма ВС лежить у площині АВС, пряма АD перетинає площину АВС у точці, нещо лежить на прямій ВС. Значить, за ознакою, прямі АD і ВС - схрещуються. Тобто, прямі МD і ВС – схрещуються.

8. Завдання 2

Доведіть, що якщо АВ та СD схрещуються, то АD та ВС теж схрещуються.

Припустимо, що прямі АD і НД не схрещуються, тобто лежать в одній площині. Отже, всі точки А, У, З, D лежать у цій площині, отже прямі АВ і СD теж лежать у цій площині. Але прямі АВ і СD схрещуються за умовою. Набули протиріччя. Значить, прямі АD і ВС - схрещуються.

9. Підсумки уроку

Отже, ми познайомилися з прямими, що схрещуються: дали визначення, довели ознаку схрещуваних прямих. Також ми довели теорему про те, що через кожну з двох прямих, що схрещуються, проходить площина, паралельна іншій прямій, і притому тільки одна. Тепер нам відомі всі випадки взаємного розташування прямих у просторі: вони можуть перетинатися, бути паралельними, схрещуватися.