10.3.3. Метод Монте-Карло для портфеля з кількох акцій

Розглянемо істоту методу Монте-Карло для портфеля із двох паперів. Для портфеля, що включає більше активів, підхід залишиться аналогічним.

Розподіл вартості портфеля залежить від ступеня корелюваності доходностей активів, що входять до нього. Найпростіше отримати розподіл вартості портфеля, коли прибутковості акцій змінюються незалежно друг від друга чи коли з-поміж них спостерігається кореляція +1.

Як зазначалося у параграфі 10.3.1, зміну ціни акції можна змоделювати на основі рівняння (10.3). Тому зміну вартості акцій у портфелі можна уявити рівностями:

Розрахунки стосовно портфеля цінних паперів зручно здійснювати в матричній формі. Тому вирази (10.8) та (10.9) представимо в матричній формі як:

Для простоти візьмемо у виразі (10.10) період часу рівним одиниці. Тоді воно набуде вигляду:

Враховуючи сказане, ціни акцій у виразі (10.11) можна як:

Вартість портфеля наприкінці першого періоду можна дізнатися, помноживши вираз (10.12) на вектор кількості акцій у портфелі:

Формула (10.13) дозволяє визначити вартість портфеля, коли кореляція доходності паперів дорівнює нулю.

Якщо кореляція доходностей активів у портфелі дорівнює +1 або -1, то вираз (10.13) набуває вигляду:

Найбільш стандартним є випадок, коли кореляція доходностей акцій у портфелі відмінна від ±1. Цей факт необхідно врахувати щодо його вартості. Результати випробувань задаються значеннями вектора, позначимо через s. Вони мають відображати структуру кореляцій доходності активів. Необхідну умову можна змоделювати, скориставшись розкладанням Холецького. Розкладання Холецького єсиметричну матрицю як добуток нижньої та верхньої трикутних матриць. Тому кореляційна матриця портфеля (Q) представима як:

Чи знаєте Ви, що:Ви можете виграти від $20 до $250 у конкурсі«Formula FX»від Альпарі, зайнявши призові місця з 1-го до 20-го. Для участі необхідний реальний рахунок, поповнений не менш як на $20. Переможець може зняти призову суму будь-якої миті часу без будь-яких обмежень.

Запишемо вираз (10.14) для портфеля з двох паперів:

Добуток матриць ААТ дає результат:

Прирівняємо елементи кореляційної матриці та матриці творів ААТ:

Задамо значення вектора? як:

Для того, щоб можна було використовувати розкладання Холецького, матриця А має бути позитивно визначена. Якщо менеджер включить у модель дисперсії та кореляції, в яких враховано його експертні оцінки, то не виключений варіант, що матриця не буде позитивно визначена.

Точність оцінки VaR залежить кількості проведених випробувань. Можлива помилка обернено пропорційна кореню квадратному з їх кількості.

На закінчення цього параграфа зупинимося ще раз на використанні формули (10.3) для моделювання курсової вартості акції. Формула містить елемент juSdt. Він визначає тренд чи швидкість тенденції руху ціни акції. За короткий період тренд фактично не визначимо, і зміна ціни акції задається в основному стандартним відхиленням. Тому, якщо курс акції моделюється для невеликого періоду часу, то цей доданок можна опустити. Тоді формула (10.3) набуде вигляду:

---