1.1. Парна лінійна регресія. Розрахунок параметрів рівняння регресії за індивідуальними даними

Лінійна залежність - найчастіше використовувана форма зв'язку між ознаками, що корелюються, і виражається вона, як вказувалося раніше, припарноїкореляції рівнянням прямої:

. (22)

Гіпотезупро лінійну залежність міжхіувисувається в тому випадку, якщо значення результативної та факторної ознак зростаю (або зменшуються) приблизно варифметичній> Прогресії.

Параметри

івідшукуються МНК наступним чином:

Згідно з вимогою МНК при лінійній залежності (21) замість

записуємо його конкретне вираз, тобто:

=. (23)

Подальше рішення зводиться дозавдання на екстремум, тобто. до визначення того, за яких значення

іфункція двох зміннихUможе досягти мінімуму. Для цього треба знайти приватні похідніUпоі, прирівняти їх нулю і після елементарних перетворень вирішити систему двох рівнянь із двома невідомими.

Відповідно до викладеного знайдемо приватні похідні

(24)

Скоротивши кожне рівняння на -2, розкривши дужки і переносячи члени зхв одну сторону, а зу- в іншу, отримаємо (оскільки межі підсумовування скрізь однакові, надалі їх не вказуємо)

(25)

Система (25) називаєтьсясистемою нормальних рівняньМНК для лінійного рівняння регресії.

Розглянутий спосіб розрахунку параметрів рівняння регресії називаєтьсярозрахунком за індивідуальними даними, оскільки беруть участь дані про значенняхіукожної одиниці сукупності (за списком ).

Формулидля розрахунку параметрів

іна основі визначника 2-го порядку такі:

(26, а)

або (якщо в (2.25) усі рівняння розділити наn)

=, (26, б)

, (27)

де

,.

Коефіцієнт регресії(

) показує, на скільки одиниць (вабсолютномувираженні) змінюється значення результативної ознаки відносного факторного.

Коефіцієнт еластичності(Е– часто використовується векономічномуаналізі) показує, на скількивідсотківзмінюється в середньому результативний ознакауза зміни факторного ознакихна 1%. Зазвичай розраховується як відношення приросту (%) результативної ознаки до приросту (%) факторного ознаки.

=. (28)

Приклад. Рівняння регресії виражає залежність обсягу валового випуску вартості основних фондів, тоді коефіцієнт еластичності висловиться так:

Е=

.

Підставляючи у цей вираз різні значеннях, отримуємо і різні значенняЕ. Так, наприклад, прих= 50 коефіцієнт еластичностіЕ= 1,11, а прих= 80 відповідноЕ= 1.09 та і т.д. Це означає, що зі збільшенням основних фондівхз 50 до 50,5 млн. крб., тобто. на 1%, валовий випускузростає в середньому на 1,11% колишнього рівня; зі збільшеннямхз 80 до 80,8 млн. крб., тобто. на 1%,узростає на 1,09%.

1.2. Парна лінійна регресія. Розрахунок параметрів рівняння регресії за згрупованими даними

Коли спостереження ведеться над великою кількістю пар значеньхіу, то, як зазначалося, дані зручніше розташовувати яккореляційноїтаблиці (див., наприклад, табл. 9.3), де вказані розподіли похі поуі відповідно, їх частоти

і. При цьому==n- загальна кількість спостережень.

При складанні та рішеннісистеми нормальних рівнянь у цих випадках всі суми значеньхіу, їх творів повинні враховуватися разом з їхньою вагою, а саме:

(29)

Приклад. Використовуючи дані табл. 3 складемо таблицю (табл. 7) вихідних умовних даних для обробки за формулою (29).

---