20-22 квиток
20. Координатицентрів тяжкості однорідних тіл. Способи їх визначення.
Для однорідного тіла вагаphбудь-якої його частини пропорційна обсягуυhцієї частини:pk=γυk,а вагаРвсього тіла пропорційна обсягуVцього тіла, т е.P=γV,деγ- вага одиниці об'єму.
Положення центру тяжкості однорідного тіла залежить від його геометричної форми, як від величиниγзалежить. З цієї причини точкуС,координати якої визначаються формулами, називаютьцентром тяжкості обсягуV.
Шляхом аналогічних міркувань легко знайти, що й тіло є однорідну плоску і тонку пластину, то неї.
деS- площа всієї пластини;sk- площі її частин.
Точку, координати якої визначаються формулами, називаютьцентром ваги площіS.
Так само виходять формули для координатцентру тяжкості лінії:
деL- Довжина всієї лінії;lk- Довжини її частин.
Центр тяжкості однорідного тіла визначається як центр тяжкості відповідного об'єму, площі чи лінії.
Центр тяжкості трикутникалежить у точці перетину його медіан.
Центр тяжкості дуги. Кола.
Симетрія.Якщо однорідне тіло має площину, вісь чи центр симетрії, його центр тяжкості лежить відповідно чи площині симетрії, чи осі симетрії, чи центрі симетрії.
Розбиття.Якщо тіло можна розбити на кінцеве число таких частин, для кожної з яких положення центру тяжіння відомо, то координати центру тяжіння всього тіла можна безпосередньо обчислити за формулами. Прицьому число доданків у кожній із сум дорівнюватиме кількості частин, куди розбито тіло.
Доповнення.Цей спосіб є окремим випадком способу розбиття. Він застосовується до тіл, що мають вирізи, якщо центри ваги тіла без вирізу та вирізаної частини відомі.
Інтегрування.Якщо тіло не можна розбити на кілька кінцевих частин, положення центрів тяжкості яких відомі, то тіло розбивають спочатку на довільні малі обсяги Δυk, для яких формули (60) набувають вигляду
деxk,yk,zk— координати деякої точки, що лежить всередині об'єму Δυk.Потім у рівностях переходять до межі, спрямовуючи всі Δυkдо нуля, тобто стягуючи ці обсяги в точки. Тоді суми, що стоять у рівностях, звертаються в інтеграли, поширені на весь об'єм тіла, і формули дають у межі:
xc = 1/V
Аналогічно для координат центрів ваги площ і ліній отримуємо в межі з формул:
xc = 1/S
xc = 1/L
Експериментальний метод.Центри тяжкості неоднорідних тіл складної конфігурації (літак, паровоз тощо) можна визначати експериментально. Один із можливих експериментальних методів (метод підвішування) полягає в тому, що тіло підвішують на нитці або тросі за різні точки. Напрямок нитки, на якій підвішено тіло, щоразу даватиме напрям сили тяжіння. Точка перетину цих напряміввизначає центр тяжкості тіла. Іншим можливим способом експериментального визначення