2.2. Принципи класифікації вхідних потоків
Потоки класифікуються з погляду стаціонарності, ординарності та післядії [6].
Стаціонарність потоку.Вхідний потік заявок є стаціонарним, якщо за будь-якогоnспільний закон розподілу числа заявок за проміжки часу від [t0,t1), [t0,t2), …, [t0,tn):
залежить від довжини проміжків часу і залежить від моментуt0. Іншими словами, незалежно від того, де на осі часу розташований проміжок [t0,ti), ймовірність надходженняK(t0,ti) заявок та сама. Це означає, що з стаціонарного потоку ймовірність надходження деякого числа заявок якийсь проміжок часу залежить від довжини цього проміжку і залежить від початку. В іншому випадку потік є нестаціонарним.
Ординарність потоку.Позначимо через Пk(t,t+ ) ймовірність надходженняkі більше заявок за проміжок [t,t+ ). Потік заявок є ординарним, якщо при τ 0
тобто. Пk(t,t+ ) = 0(), де 0() – величина вищого порядку трошки по відношенню до .
Ординарність потоку виражає практичну неможливість одночасного надходження двох і більше заявок будь-якої миті часуt.
Наслідок потоку.Потік заявок є потоком без післядії, якщо ймовірність надходженняK(t0,ti) викликів за проміжки [t0,ti),i= 1, 2, …,n,PK(0,ti) –K(0,t0) =K(t0,ti),i= 1, 2, …,n>, не залежить від ймовірнісного процесу надходження викликів до моментуt0. Іншими словами, відсутністьпіслядії потоку означає незалежність течії випадкового потоку заявок після будь-якого моменту часу від його течії до цього моменту.
2.3. Характеристики вхідних потоків
До основних характеристик вхідного потоку слід віднести параметр та інтенсивність потоку.
Під параметром потоку (t) в момент часуtрозуміється межа відношення ймовірності надходження хоча б одного виклику за час [t,t+ + ) до довжини цього відрізка часу при 0:
тобто. параметр потоку є щільність ймовірності настання моменту, що викликає, в моментt. Виходячи з (2.1), знаходимо ймовірність надходження одного виклику і більше за час [t,t+ ):
Згідно з визначенням стаціонарного потоку, ймовірність надходження певної кількості заявок за деякий проміжок часу та сама і не залежить від місця розташування цього проміжку на осі часу. Отже, і ймовірність надходження заявок стаціонарного потоку, тобто. його параметр (t), є величина постійна, яка залежить від моментуt, тобто. (t) = . Звідси для стаціонарних потоків
На відміну від провідної функції потоку (t, 0), що визначає математичне очікування числа заявок, що надходять у проміжку часу [0, ), параметр потоку (t) характеризує не потік заявок, а потік моментів, що викликають, і ця характеристика відноситься не до всього відрізка [0, ), а лише до фіксованого моментуt.
Інтенсивністю стаціонарного потоку називається математичне очікування кількості заявок, що надходять за одиницю часу. Внаслідок адитивності математичногоочікування стаціонарного потоку провідна функція за проміжок часу [0,t) дорівнює (0,t) = t.
Для нестаціонарних потоків використовуються поняття середньої та миттєвої інтенсивностей. Середня інтенсивність потоку на відрізку часу [t1,t2) є
,
а миттєва інтенсивність потоку в момент t
. (2.2)
Відповідно до (2.2) миттєва інтенсивність потоку представляє похідну провідної функції потоку. Як і параметр потоку (t), миттєва інтенсивність потоку (t) відноситься не до відрізку часу надходження викликів, а тільки до моментуt. У той же час, на відміну від параметра потоку, що характеризує потік моментів, що викликають, миттєва інтенсивність потоку характеризує потік надходження викликів.
Для будь-яких потоків заявок (t) (t), причому для ординарних потоків (t) = (t) ). Для стаціонарних потоків інтенсивність та параметри постійні: (t) = , (t) = . Отже, для будь-яких стаціонарних потоків , а для стаціонарних ординарних = .
Класифікацію потоків зручно здійснювати, приймаючи за основну ознаку післядія потоку. За цією ознакою розрізняють три класи потоків: без післядії, з простою післядією та з обмеженою післядією. Розглянемо ці класи потоків.
2.4. Найпростіший вхідний потік
Визначення.Найпростішим потоком називається стаціонарний ординарний потік без післядії. Найпростіший потік викликів є найпоширенішою моделлю реального потоку заявок, що застосовується у системах масового обслуговування. У більшості завдань прикладного характеру заміна реальних потоків на найпростіші з тими ж інтенсивностями призводить до отримання рішення, яке маловідрізняється від істинного [7]. Математичне моделювання показало [7], що у більшості випадків ця похибка обмежена 3-5% і лише в окремих випадках 10-12%, що цілком прийнятно при вирішенні прикладних завдань. Однак, як зазначено в роботах [8–10], є особливі умови, коли ця похибка може досягти значних величин. У зв'язку з цим необхідно використовувати моделі потоків складнішого характеру.
Математична модель найпростішого потоку.Визначимо ймовірність надходження потокуk(k= 1, 2, …) викликів на відрізку часу [t0 ,t0 +t):Pk(t0,t0 +t). Дослідження будемо проводити на відрізку часу [t0,t0 +t+ ), який можна уявити, що складається з двох відрізків, що примикають один до одного [t0,t0 +t+ ) = [t0,t0 +t) + [t,t+ ).
Для того щоб протягом відрізка [t0,t0 +t+ ) надійшло точноkвикликів, необхідно, щоб за перший проміжок часу [t0,t0 +t) надійшлоk, абоk–1, …, абоk–i, …, або 0 викликів, а за другий проміжок відповідно 0, або 1, …, абоi, …,kдзвінків.
Найпростіший потік це потік без післядії. Тому незалежними є події, що полягають у надходженні якогось числа викликів за перший і другий проміжки часу, і ймовірність надходження точноkвикликів за час [t+ ) для кожної реєстраціїi= 0, 1, …,kстановитьPk(t+ )i=Pk-i(t)Pi(),i= 0, 1, …,k. Оскільки реалізації зi= 0, 1, …,kстановлять несумісні події, то згідно з формулою повноюймовірності маємо
(2.3)
Вираз (2.3) є системою, що складається з нескінченного числа рівнянь. Спрямуємо відрізок часу до нуля. Внаслідок ординарності найпростішого потоку 2(t,t– ) = 0(), 0. Імовірності надходження 2, 3, … викликів:P2(),P3() тощо. – є нескінченно малі вищого порядку щодо . Отже, у системі рівнянь (2.3) ймовірностіPiмають кінцеві значення тільки приi, що дорівнює 0 і 1. На підставі цього (2.3) перетворюється на вигляд