2.2. Типові приклади

1. Збільшена сума (простий відсоток).

Клієнт зробив внесок на поточний рахунок у банку у сумі 100 тис.

руб. під просту ставку 14% річних. Потім через 3, 6 та 9 місяців

він вклав ще 10 тис. крб. Наприкінці року клієнт закрив

рахунок. Яку суму він отримав під час закриття рахунку?

Розв'язати задачу, використовуючи такі правила.

1. Поділ рахунку на основний та процентний.

1. Протягом першого кварталу сума на рахунку капіталу складала

величину Р = 100. Відсотки за перший квартал (тривалість

кварталу в частках року дорівнює 0,25):

Ш Р = 0,14 - 0,25 - 100 = 3,5.

Протягом другого кварталу сума на основному рахунку Р = 100+

+ 10 = 110, відсотки з якою рівні:

/Д/-Р=0,14-0,25-110 = 3,85;

сума на рахунку протягом третього кварталу – 120, відсотки за

третій квартал - 4,2; сума на основному рахунку протягом четвер-

того кварталу - 130, відсотки дорівнюють 4,55. Підсумкова сума на

процентному рахунку (відсотки за рік) визначається додаванням

поквартальних відсотків і становить величину / = 3,5 + 3,85 +

+ 4,2 + 4,55 = 16,1. Сума, яку отримає клієнт під час закриття

рахунки, що дорівнює 130 + 16,1 = 146,1 тис. руб.

2. Розмір вкладу на накопичувальному рахунку на дату закриття

дорівнює нарощеній сумі потоку всіх вкладень:

S = SX + S2 + S3 + S4;

S = 100 (1 + 0,14) + 10 (1 + 0,75 • 0,14) + 10 (1 + 0,5 • 0,14) +

+ 10 (1 + 0,25 • 0,14) = 146,1 тис. руб.

2. Комерційне та актуарне правила.

У разі попередньої завдання замінимо вкладення 10 тис крб.

наприкінці 6-го місяця на вилучення 20 тис. руб. і знайдемо стан

рахунки на кінець кожного кварталу в залежності від використовуваного

банкомправила (комерційного чи актуарного);

Відповідно до комерційного правила всі платежі враховуються

на рахунку капіталу, та його послідовним станам відповідає

вектор (ПЗ, 90, 100, 100).

Знайдемо послідовність сум на процентному рахунку:

(3,5; 3,5 + 3,85 = 7,35; 7,35 + 0,14 • 0,25 • 90 =

= 10,5; 10,5 + 0,14 • 0,25 • 100 = 14).

Зіставляючи ці послідовності, отримаємо повну суму

рахунки на кінець кожного кварталу:

^ = 113,5; ^ 2 = 97,35; ^ 3 == 110,5; 5 4 = 114.

На практиці банки виплачують відсотки за вкладом, тому

у разі вилучення сум спочатку зменшується процентний рахунок,

а потім основне (актуарне правило). Відповідно до цієї процедури

виплата 20 тис. руб. провадиться за рахунок накопичених за півріччя

відсотків (7,35) та зняття недостатньої суми (20 - 7,35 =

= 12,65) з основного рахунку. В результаті прийдемо до наступних

тимчасовим характеристикам станів основного, процентного

та повного рахунків (Ph Ii9 SJ) (табл. 2.1).

Р3 = 107,35 РА = 107,35

/, = 3,5 / 2 = 3, 5 + 3, 8 5 -

/ 4 = 3,407 + 0,035 х

5 4 = 107,35 + 7,16 =

3. Збільшена сума (складний відсоток).

Для створення резервного фонду щорічно виділяється за

400 тис. руб. На кошти, що акумулюються, нараховуються складні

відсотки за ставкою 8%. Необхідно визначити загальну суму

фонду через 5 років для наступних варіантів надходження коштів

та нарахування відсотків:

а) надходження наприкінці кварталу, нарахування відсотків поквартальне;

б) надходження наприкінці кварталу, нарахування відсотків за

в) надходження наприкінці року за безперервного нарахування

г) надходження протягом усьоготерміну відбуваються безперервно,

відсотки нараховуються безперервно.

а) Скористаємося формулою (2.2) для простої річної ренти,

замінивши рік кварталом, а річну ставку - квартальною: / = 2%,

п = 20. Значення коефіцієнта нарощення 5(20,2) = 24,297, відку-

і S = 400 . - ^ = 2 1 = 2429,7 тис. руб.;

б) у цьому варіанті р = 4, т = 2, п = 5, - = 0,04. За формулою

е 400 (1+0,04)1 0 -1

S = - '- - = 2425,45 тис. руб.;

в) еквівалентний заданій річній ставці / безперервний

5 = ln (l + 0,08) = 0,07696 (e ° '0 7 6 9 6 = l,08).

Нарощення із силою зростання 5 дасть той самий результат, що й нарахування

під річну ставку 8%. Скориставшись формулою (2.2),

знайдемо підсумкову величину фонду:

S = 400 • J (5,8) = 400 • 5,8666 = 2346,64 тис. руб.;

г) для випадку (2.8) постійної безперервної ренти та безперервних

відсотків буде накопичена сума

S = - - = 2439,33 тис. руб.

4. Сучасна ціна ренти.

Яку суму необхідно помістити до банку, щоб мати можливість

протягом наступних 8 років щорічно знімати з рахунку

25 тис. руб., Вичерпавши рахунок повністю до кінця терміну? Вирішити завдання

для наступних варіантів нарахування відсотків:

а) наприкінці року за ставкою / = 5%;

б) наприкінці кварталу за тієї ж річної ставки;

в) безперервно із силою зростання 5 = 5%.

У всіх випадках потрібно знайти сучасну вартість річний

а) застосуємо формулу (2.2): A = Ra (8,5). Значення а (8,5) =

А = 25000 • 6,46321 = 161580,25 руб.;

б) за умовою відсотки нараховуються 4 десь у рік. Вважаючи в

формулі загальної ренти р = 1, т = 4, п = 8, iг = 0,05, знайдемо цікаве

нас значення сучасної величини:

А= 2 5 0 0 0 = 2 5 0 0 0 -^Mi ^0965,75 руб.;

(1+0,05/4)4 -1 0,050945

в) у цьому випадку перейдемо до ефективної ставки відсотка / =

= е 8 - 1 і застосуємо узагальнюючу характеристику (2.2) простий

річний ренти. В результаті отримаємо формулу сучасної вартості

для розрахунку необхідної суми:

А = 25000 -^-4кк = 160753,64.

5. Знаходження розміру платежу.

Необхідно знайти розмір рівних внесків наприкінці року для

наступних двох ситуацій, у кожній з яких передбачається

нарахування на внески річних процентів за ставкою 8%.

1. Створити до кінця п'ятиріччя фонд, що дорівнює 1 млн руб.

2. Погасити до кінця п'ятиріччя поточну заборгованість, що дорівнює

а) прирівняємо розмір створюваного фонду нарощеній сумі

(2.2) простий річний ренти. З отриманого рівняння знаходимо:

D S 1000000 ЛПм**л *

R = = = 170456,4 руб.

Отже, щорічні внески у вигляді 170456,4 крб.

достатні при нарахуванні на них відсотків за зазначеною

ставці для накопичення 1 млн руб.;

б) для визначення щорічної суми погашення за 5 років поточного

боргу 1 млн руб. прирівняємо його до сучасної величини

ренти (2.2), члени якої погашають борг. З отриманого

D А 1000000 -илчслс *

R = = = 250 456,46 руб.

6. Знаходження терміну ренти.

Іванов має виплатити Петрову 40 тис. руб. Він пропонує

замінити цю разову виплату щорічними платежами на початку

кожного року по 10 тис. руб. кожен. Скільки років має буде

чекати на Петров повного погашення боргу з боку Іванова,

якщо на борг нараховуються відсотки за ставкою 8% річних?

Завдання зводиться до визначення терміну простої річної ренти.

Вважаючи (2.2) наведену вартість А рівної різниці між

величиною боргу D та платежем R, прийдемо до наступної формули:

Підставляючи в неї вихідні дані, отримаємо:

-1п(1-3000-0,08/10000)

Нехай тривалість ренти, що замінює, дорівнює 3 рокам.

Тоді її сучасна величина

У той же час сучасна величина ренти, що замінюється А =

= 30 тис. Різниця, в такий спосіб, становить 4229 крб. Цю суму

слід сплатити на початку першого періоду замінної ренти

або з відповідним нарощенням будь-якої іншої миті. Якщо

ренту, що замінюється, продовжити на один рік, то для остаточного

погашення боргу Іванов повинен буде наприкінці 4-го року виплатити

Петрову суму Л * = 4229 • 1,084 = 4229-1,3605 «5753,55 руб.

7. Знаходження ставки відсотків.

Банк пропонує клієнту виплату ренти на таких умовах:

клієнт вносить 10 тис. руб., а банк протягом 5 років виплачує

йому наприкінці кожного року з 3 тис. крб. Визначити прибутковість

Сучасна вартість А ренти, що отримується клієнтом, обчислена

за шуканою процентною ставкою /, збігається з величиною

його початкового капіталу. При відомих значеннях 4 = 10 R = 3

п = 5 знайдемо д(5,/) = -у- = 3,(3). Відповідно до таблиці коефіцієнтів

приведення річної ренти а(5; 15,5) = 3,3128 = ПО Р2 = 110 - (20 -