2.4.3. Бігармонічне рівняння. Рішення Навье

,

де – оператор Лапласа (див. п.2.4.1), називаєтьсябігармонічним,а його рішення, що мають похідні до четвертого порядку включно, називаються бігармонічними функціями.

Бігармонічне рівняння має різний вигляд у різних системах координат. У декартовій системі координат однорідне бігармонічне рівняння записується так:

і, очевидно, є диференціальним рівнянням у приватних похідних четвертого порядку еліптичного типу.

До бігармонійного рівняння наводяться багато статичних і динамічних завдань механіки та фізики.

Розглянемо його рішення на прикладі задачі про вигин пластини прямокутного обрису в плані, вільно опертої по контуру. Це рішення в подвійних тригонометричних рядах Фур'є вперше було отримано в 1820 Л. Нав'є і носить його ім'я [10].

Можна показати, що завдання визначення малих прогинів тонкої пружної прямокутної пластини, схильної до дії поперечного навантаження, наводиться до неоднорідного бігармонійного рівняння виду

(2.147)

, (2.148)

де – прогин пластини, – зовнішнє поперечне навантаження,D=Eh3 /[12(1 –μ2 )] – циліндрична жорсткість пластини (h– товщина пластини,E– модуль пружності матеріалу, – коефіцієнт Пуассона).

Рівняння (2.148) називаєтьсярівнянням Софі Жермен-Лагранжа.Для отримання єдиного рішення до рівняння (2.148) необхідно приєднати граничні умови. Для вільно опірної пластини на контурі дорівнюють нулю прогини та згинальні моменти. Можна показати, що граничні умови у своїй можуть бути записані як (див. рис.2.2)

Для вирішення крайового завдання (2.148–2.149) потрібна функція – прогин пластиниw(x,y) представляється у вигляді розкладання в подвійний тригонометричний ряд Фур'є

. (2.150)

Зауважимо, кожен член ряду (2.150) задовольняє всім граничним умовам (2.149).

Підставляючи ряд (2.150) до рівняння (2.147), отримаємо

. (2.151)

Далі розкладаємо у подвійний тригонометричний ряд Фур'є за синусами праву частину рівняння (2.151)

. (2.152)

Коефіцієнти подвійного ряду Фур'є (2.152) через ортогональність синусів визначаються за формулою

. (2.153)

Підставляючи (2.152) в (2.151) і прирівнюючи коефіцієнти в лівій і правій частинах рівності, що виходить при синусах, отримаємо рівність

,

з якого виражаємо невідомий коефіцієнт розкладання прогину через відомий коефіцієнт розкладання навантаження:

. (2.154)

Після підстановки (2.154) (2.150) отримаємо остаточне розв'язання задачі у вигляді

. (2.155)

Розглянемо випадок навантаження, рівномірно розподіленого по всій поверхні пластини. Тодіq(x,y) =q0 =const. При цьому з (2.153) випливає

Підставляючи це значенняamn(2.155), отримаємо вираз для прогину в довільній точці пластини, навантаженої рівномірно розподіленим навантаженням

.

де підсумовування проводиться за нечітливимиmіn:m= 1, 3, 5.n= 1, 3, 5. наведеного рішення випливає, що максимальний прогин буде в центрі пластини приx=a/2 таy=b/2

. (2.156)

Цей ряд швидко сходиться і досить обмежитися його першим членом. Вважаючи (2.156) , отримаємо для квадратної пластини (при відому формулу [10]

.

---