§ 3. Багатозначні логіки
Якщо двозначної логіці висловлювання буває істинним чи хибним, то багатозначних логіках число значень істинності аргументів і функцій то, можливо будь-яким кінцевим і навіть нескінченним. У цьому додатку заперечення позначається черезNxабо
кон'юнкція - черезКхуабонестрога диз'юнкція -черезАхуабоматеріальна імплікація - черезСхуабоЗначення функції від аргументуазаписуватимемо так: [д] .Татологією(або загальнозначущою) називається формула, яка при будь-яких комбінаціях значень змінних, що входять до неї, приймає значення «істина» (найчастіше в аналізованих системах «істина» позначається цифрою 1).
Розвиток багатозначних логік, на нашу думку, підтверджує думку, що істина завжди конкретна, а також положення про відносний характер конкретно-наукових знань: те, що є тотожно-істинним в одній логічній системі, не виявляється тотожно-істинним в іншій.
Тризначна система Лукасевича 29
Тризначна пропозиційна логіка була побудована Я. Лукасевичем у 1920 р. У ній «істина» позначається 1, «брехня» - 0, «нейтрально» - 1/2. Як основні функції взяті заперечення (позначаєтьсяNx)та імплікація(Сху);похідними є кон'юнкція(Кху)і диз'юнкція(Аху).Тавтологія набуває значення 1.
Заперечення та імплікація відповідно визначаються матрицями (табл. 13, 14) та рівностями так:
1) [Nx] = l-[x]; 2) [Сху] = 1, якщо; 3) [Сху] = 1-[x]+[у], якщо [x]>[у], або в загальному вигляді: 4) [Сху]=min (1,1 - [x]+[у] ).
Кон'юнкція визначається як мінімум значень аргументів: [Kxy] = min ([x], [у]); диз'юнкція як максимум значеньхіу:[Аху]= тах ([x], [у]).
На основі даних визначеньзаперечення, кон'юнкції та диз'юнкції в системі Лукасевича не будуть тавтологіями (законами логіки) закон несуперечності та закон виключеної третьої двозначної логіки, а також і заперечення законів несуперечності та виключеного третього. Тому логіка Лукасевича не є запереченням двозначної логіки. У логіці Лукасевича тавтологіями є правило зняття подвійного заперечення, всі чотири правила де Моргана і правило контрапозиції: Не є тавтологіями правила приведення до абсурду двозначної логіки:і(т. е. якщо зхвипливає протиріччя, то з цього випливає запереченнях). Це можна довести, взявши [х] = 1/2 і [у] = 1/2.
Усі тавтології логіки Лукасевича є тавтологіями у двозначній логіці, бо якщо відкинути значення 1/2, то у логіці Лукасевича та у двозначній логіці визначення функцій кон'юнкції, диз'юнкції, імплікації та заперечення відповідно збігатимуться. Але оскільки в логіці Лукасевича є третє значення істинності - 1/2, то не всі тавтології двозначної логіки є тавтологіями в логіці Лукасевича.
Тризначна система Рейтингу
У двозначній логіці із закону виключеного третього виводяться: 1) 2) Виходячи із твердження, що істинним є лише друге, Гейтінг розробив тризначну пропозиційну логіку. У цій логічній системі імплікація та заперечення відрізняються від визначень цих операцій у Лукасевича лише в одному випадку. "Істина" позначається 1, "брехня" - 0, "невизначеність" - 1/2. Тавтологія набуває значення
1) [Сху] = 1, якщо
2) [Сху] = [у], якщо
Кон'юнкція та диз'юнкція визначені звичайним способом, як мінімум, і максимум значень аргументів.
Хоча порівняно з логікою Лукасевича в матрицях заперечення та імплікації Гейтингом у його системі були зробленіневеликі зміни, результати виявилися значними: у системі Гейтинга є тавтологіями багато формул класичного двозначного обчислення висловлювань.
Тризначна система Бочвару30
Система радянського логіка Д. А. Бочвара побудована на поділі висловлювань на які мають сенс (тобто істинні чи хибні) та безглузді. Бочвар виділяє зовнішні форми (або функції) та внутрішні. Внутрішні форми Бочвар називає класичними змістовними функціями змінних висловлювань, а зовнішні форми — не класичними. У Бочвара "істина" позначається Л, "брехня" -F,"безглуздість" -S.Ми позначимо "істину" як 1, "брехня" - 3, "безглуздість" - 2. Тавтологія набуває значення 1;а, Ь, с.позначають змінні висловлювання.
У цій роботі не наводиться повне визначення функцій (через його складність). Бочвар ввів два види заперечення - внутрішнє та зовнішнє, які визначаються таблично, - внутрішнє заперечення, - зовнішнє заперечення, - внутрішнє заперечення зовнішнього твердження.
У системі Бочвара ні закон тотожності двозначної логіки, ні його заперечення є тавтологіями. Заперечення закону тотожності відіграло важливу роль при аналізі феномена Рассела. Бочвар ж не відкидає принцип «а єа»або в його системі формула не є доведеною.
Протиріччями в логіці Бочвара є такі формули: 1) 2) 3) Тут означає зовнішню рівнозначність (еквівалентність), знак - зовнішню рівносильність.
Бочвар побудував своє тризначне нечислення з дозволу парадоксів класичної математичної логіки методом формального докази безглуздості певних висловлювань. Зокрема, за допомогою своєї системи Бочвар зміг дозволити парадокс Рассела про безліч усіхнормальних множин, довівши неіснування такого предмета, як множина всіх нормальних множин. Насправді це означає, що оскільки предметна область складається з фіксованих предметів, про які можна міркувати за законами класичної формальної логіки, безліч всіх нормальних множин не можна розглядати як фіксований предмет, що не змінюється в той час, поки про нього йдеться. Система Бочвару дозволяє елімінувати феномен Рассела, не вдаючись до теорії типів.
Система Поста є узагальненням двозначної логіки, бо при л=2 як окремий випадок ми отримуємо двозначну логіку. Своєю системою Пост дав інтерпретацію. Значення істинності суть 1, 2. лде л—кінцеве число. Тавтологією є формула, яка завжди приймає таке значення i, що де значення 1, .Sназиваються виділеними або зазначеними; можливо що
Пост вводить два види заперечення(N*xіN1x)yвідповідно звані циклічним та симетричним . Вони визначаються шляхом матриць та за допомогою рівностей.
Перше заперечення визначається двома рівностями:
1. LY 1 x]=M+l при
Друге заперечення визначається однією рівністю:
Матриця, що визначає перше та друге заперечення, має вигляд табл. 17.