3. Трикутний імпульс

Поданий на рис. 2.19а трикутний імпульс визначається виразом:

(2.62)

Мал. 2.19.Визначення спектральної щільності трикутного імпульсу

Пряме обчислення спектральної густини трикутного імпульсу за формулою (2.35) нескладно, але досить громіздко.

Скористаємося властивостями перетворення Фур'є (п. 2.6) та визначимо спектральну щільність функції, що є похідною від заданого сигналуs(t). Графік похідної показано на рис. 2.19б. Спектральна щільність позитивного прямокутного імпульсу тривалістюі/2та

амплітудою

за аналогією з формулою (2.60а) та з урахуванням зсуву середини імпульсу на час і/4 щодо точки t=0:

Спектральна густина негативного імпульсу (рис. 2.19б) відповідно:

Спектральна щільність двох імпульсів:

(2.63)

Спектральна щільність трикутного імпульсу, що є інтегралом від функціїs'(t), виходить діленням попереднього виразу ( 2.63) наj[див. (2.52)]:

(2.64)

Множник

– площа трикутного імпульсу. ГрафікS()представлений на рис. 2.19в.

4. Нескінченно короткий імпульс із одиничною площею (дельта-функція)

Розглянемо імпульс, у якого амплітуда обернено пропорційна тривалості (рис. 2.20). При прагненні тривалості до нуля амплітуда перетворюється на нескінченність, а площа імпульсу залишається незмінною і дорівнює одиниці.

Мал. 2.20.Імпульс, що переходить у дельта-функцію

При прагненні параметраx1до нуля функцію на рис. 2.20 можна визначити наступнимчином:

(2.65)

за одночасної умови:

Функція(x), що має зазначені властивості, називаєтьсяодиничним імпульсом, імпульсною функцією або дельта-функцією (а також функцією Дірака).

При зрушенні імпульсу осі x на величину х0 визначення (2.65) і (2.66) повинні бути записані в більш загальній формі:

(2.67)

Функція(x)має важливі властивості, завдяки яким вона набула широкого поширення. З визначень (2.67) і (2.68) випливає основне співвідношення:

У теорії передачі інформації іноді говорять простробуючій властивості дельта-функції.

У теорії сигналів доводиться мати справу з дельта-функцією від аргументівtабо, залежно від того, в якій галузі розглядається функція – у часовій чи частотній.

Спектральна щільність дельта-функції визначається за допомогою перетворення Фур'є, з урахуванням властивості (2.69), таким чином:

Модуль цієї функції дорівнює одиниці, а ФЧХ:

Поняття одиничного імпульсу широко застосовується щодо лінійних систем передачі. При цьому не обов'язково, щоб амплітуда реального імпульсу була нескінченно велика, а тривалість нескінченно мала. Достатньо, щоб тривалість імпульсу була мала порівняно з постійним часом досліджуваного ланцюга.

(2.71)

Зміна знака у показнику ступеня у разі не впливає значення інтеграла.

---