3.1 Подання гармонійних функцій за допомогою комплексних величин
Розрахунки електричних кіл гармонійного струму в тригонометричній формі або графічно за допомогою векторних діаграм застосовуються на практиці лише у разі простих схем.
З ускладненням електричних кіл, зі збільшенням числа контурів, джерел енергії, додаванням взаємних індуктивностей тощо. буд. тригонометричні чи графічні розрахунки стають вкрай скрутними. Потрібний метод, що дозволяє розраховувати електричні ланцюги змінного струму алгебраїчно, аналогічно ланцюгам постійного струму. Таким зручним розрахунковим методом служить метод комплексних амплітуд (комплексний метод), введений в електротехніку А. Є. Кеннеді та П. Ч. Штейнметцем у 1893 – 1894 рр. Цей метод, як і векторні діаграми, заснований на представленні гармонійних функцій у вигляді проекцій векторів, що обертаються, причому обертові вектори виражаються аналітично, в комплексній формі. Алгебраїчно інтерпретуючи векторні діаграми, цей метод зручно поєднує аналітичні розрахунки з геометричними уявленнями.
Все подальше викладення даного курсу та радіотехнічних дисциплін базується на цьому методі.
Відомо, що кожна точка на комплексній площині визначається радіусом-вектором цієї точки, тобто вектором, початок якого збігається з початком координат, а кінець знаходиться в точці, яка відповідає заданому комплексному числу (рисунок 3.1).
Користуючись показовою чи полярною формою запису комплексного числа, маємо
ТутА- модуль;
(В електротехніці не користуються позначенням, так як букваiпозначає струм).
Застосувавши формулу Ейлера, можна отримати тригонометричну форму запису комплексного числа
Вектор, що обертається у позитивному напрямку, тобто. проти ходу годинникової стрілки, з кутовимшвидкістюω, може бути виражений наступним чином
де (
- Комплексна амплітуда, що представляє даний вектор в моментt = 0, рисунок 3.2). Інакше кажучи, ето комплексна величина, що не залежить від часу, модуль і аргумент якої рівні відповідно амплітуді та початковій фазі заданої гармонійної функції.
Записуючи комплексну функцію (3.1) у тригонометричній формі
укладаємо, щогармонічна функція Acos( ω t+a) може розглядатися як дійсна частина комплексної функції (3.1), або, що те ж саме, як проекція вектора, що обертається, на дійсну вісь.
Умовно це записується так:
СимволReозначає, що береться справжня частина комплексної функції. Наприклад,
де – комплексна амплітуда.
Аналогічно функціяAsin( ω t+ ψ ) може бути в разі необхідності представлена як уявна частина комплексної функції (3.1), взята без множника j, або як проекція вектора, що обертається на уявну вісь.
Умовно це записується так
де символImозначає, що береться уявна частина комплексної функції. Наприклад,
Інший спосіб подання гармонійної функції за допомогою комплексних величин ґрунтується на застосуванні формул
Згідно з (3.2) можна зробити висновок, що функціяAcos( ω t+ ψ )дорівнює геометричній сумі двох комплексно сполучених векторів, що мають модуль A/2 і обертаються в протилежні сторони з однаковою кутовою швидкістюω.
В результаті складання таких двох векторів виходить вектор, розташований на дійсній осі, тобто для будь-якого моменту часуtвиходить дійсна величина (рисунок 3.3 а).
Аналогічно (3.3) видно, що функціяAsin(ωt+ ψ )дорівнюєРізноманітність цих векторів для будь-якого моменту часуtпредставляє уявну величину (рисунок 3.3, б), і тому її ділять наjдля отримання дійсної функції.
Обертання вектора в негативному напрямку (по ходу годинної стрілки) пов'язане з поняттям негативної кругової частоти(– ω ), яке є суто математичним поняттям, що випливає з наведених вище формул. Введення цього поняття у ряді випадків зручне на дослідження процесів в електричних ланцюгах. З порівняння побудови на малюнках 3.3,аіб, видно, що уявлення гармонійних функцій за допомогою двох векторів, що обертаються в протилежні сторони, для функції видуAcos( t + ψ )простіше, ніж для функціїAsin( t + ψ ).